（一）关于朱国荣老师的“1”和“10”
一年级的数学是最难教的，好像知识点很容易，但其实很难讲明白，如果老师讲不明白，孩子就没有思维的成长，变成记忆的过程。这是我再教一轮数学真真切切的感受，看似简单的“1”，让学生从数量的角度理解到计数单位“1”，如逾越鸿沟一般。
10非常重要，一定要讲明白，再往后就简单了，100、1000…
10很重要，但是从教材乃至习题中，都少有体现它在1－10中划时代般的存在，普遍的体现就是10表示的数量，和前面学习的1－9并无太大差别，这也是我教学中的一个困惑点。这一次的讲座，朱老师用一系列问题串讲的明明白白。
问题1.今天学的10和之前学的数字有什么不同吗？
问题2：你觉得那个0能去掉吗？0不是表示没有吗？
（0不能去掉，0去掉10就变成1了，0是用来占位的，这个位置规定为个位。）
问题3：计数器一个柱子上不能放10颗珠子，怎么办？怎么表示10（计数器的发明，数位的产生）。
这个案例的第一个意义告诉我们，核心问题的设计必须指向一节课的关键核心。
第二个意义在于提醒我们教师到底是“教教材”，还是“用教材教”。
关于“10”的意义，教材虽然体现不明显，但是教参用了大篇幅讲解10的不同。提醒一线教师领悟10的重要意义。
教教材和用教材教，反映了两种不同的教材观。前者把教材当成“孤本”，后者把教材看做“范本”，是可选择的。
同时，教教材和用教材教，反映了两种不同的教育思想。前者是“书本”思想的体现，后者是“人本”思想的反映。
作为教师要领悟，教材是开放的、和鲜活生活相联系的、可以再开发的一种课程资源。
（二）关于顾志能老师的图形运动之对称轴
小学阶段“图形的运动”涉及平移、旋转、轴对称、放大（缩小）等知识。但是因为，受到相关数学名词的干扰（轴对称是运动，轴对称图形是结果）和教材编排（轴对称以静态登场，平移旋转以动态登场）带来的影响，通常学生不把轴对称看作是图形运动的方式。
别说学生不把轴对称看成是图形的运动，很多老师也没有清楚的认识和在意这个问题。
首先，确定轴对称确实是图形的运动。因为图形的运动又称为图形的变换，平移、旋转、轴对称是全等变换，放大（缩小）是相似变换。相似变换与人们日常对“运动”的认识存在一些差异，所以常常不被认为是图形的运动。但是，轴对称是全等变换，大家也没把它看作是图形运动，这是为什么？
因为从生活经验的角度来看，平移和旋转都是在同一个平面内运动，而轴对称是从平面到立体，将整个图形翻折过来，感知上有一些困难。
其次，为什么图形的变换就是图形的运动？在几何学中，我们把几何图形按照某种法则或规律变成另一个几何图形的过程叫作图形变换。从数学的角度看，物体的运动和变化，都可以抽象为图形的变换。
另外，我是有一些疑惑的，顾老师怎么选了轴对称做大单元？强调轴对称是图形的运动有什么意义？我不知道轴对称是图形的运动，又有什么影响？有什么现实意义？
我们发现关于轴对称，在教学中常出现这样的误解：“轴对称就是画出一幅图形的另一半”，判断一个图形是否为轴对称图形，都是采用“对折、重合”的方式，所以“对折”就是轴对称中的运动。这样的误解，必然导致师生对轴对称知识本质的模糊，往小、往功利角度说，老师教不明白，学生也学不明白，做题就会出现错误和困惑。
既然这样先认清知识本质：图形是点的集合，任意一个图形的变换，本质上都是点的变换。
接下来就是实操了，怎么改进教学？
1.改变重视结果即轴对称图形的观念，要重视轴对称的过程，把思维引到运动上来。初次教学，不要让轴对称静态出场，运动出场引入翻折。对折—画一画—剪一剪—打开得到轴对称图形。且不可大篇幅研究得到的图形特点描述，而忽略甚至省略动手操作的过程，要反复加强翻折的感知。
2.再次教学时强调“找点”，凸现本质。让学生理解并说清楚，这些点会变到哪些位置。经过这样的学习，学生就能切实体会一个图形要经过轴对称运动变化，只需要找到关键点运动后的位置，然后把点连线，得到图形另一半，即想象翻折过程、找点、连线。学生理解了翻折与找点之间的联系，从而理解了轴对称本质。
3.综合练习时引导“建联”。
改变原教材中的“区别对待”，轴对称明明隶属于图形的运动单元，图形运动类型的习题却只涉及到平移和旋转。学生掌握了轴对称本质后可以在习题选择和设计上，综合应用平移、旋转、轴对称。
轴对称大单元教改的现实意义就是学生知道了轴对称是翻折，学会了翻折的方法，那么翻折半个图形还是翻折一个图形，沿着图形上的边翻折还是沿着图形外的边翻折，就不再是难事，也就是突破了难点。
（三）俞正强老师关于大单元的“内涵理解”与“实践把握”
本次培训最期待讲座没有之一，每一次与俞老师的相遇，无论是真人版还是书籍还是网络，都能让我豁然开朗、思索良久，是为数不多不断在脑中反复闪现的思想。
俞正强老师的开场白和他的书《种子课》遥相呼应。他说：厉害的老师不应该放在六年级，应该放在一年级，开始就搞好了，后面就好办了。种子很重要，错过了就错过了，到了高年级不用搞什么了，就顺利给送毕业就行了。
整场讲座先见森林后看树木，首先是宏大的世界观的展现，然后是宏大的数学展开图在脑中缓缓展开。
客观世界的主角是谁？
①聚焦到物上。
②物是以事的方式产生的。
所以说事物。先要物后有事，但是事更重要（物没有事，废物。人没事了，死人。），所以说事物而不是物事。
③观察物的属性。
④不同的属性产生了不同的学科（大小高矮：数学；白、黄、红：美术；性别：生物…），所以学科就是不同属性的表达。
⑤数学：大小、高矮、体重、时间、多少、位置……
⑥人是会抑制不住的对物产生反应，当出现多个物，人会抑制不住的产生比较。（所以人本身就在抑制不住的思考，人会思考是本性，我们讲课要利用好这些原始动力，这里我认为最应该利用好的是学生的好奇心）
⑦关于数学的这些属性
合就是加。
分就是剪。
乘法为什么叫乘？中国文化：千乘之国，每乘四匹马拉的马车。
除法为什么叫除法？中国文化：除是台阶，台阶自然要等分清楚。
关系、图形……
统计？是研究事还是物？
①可能性（事层面，这是经验）即概率（数学层面，这是知识）。因为有概率，所以要统计，统计就是为预测，统计是为解决概率问题的一种方法。
②所以先发生可能性，再发生统计。
(一个没有学习数学的人，不懂概率，但是也会可能性，所以人天生就是会数学的。)
教数学的逻辑是：客观世界－经验－数学知识－客观世界
数学要做问题解决
①通过度量解决问题。
②通过计算解决问题。
③通过数据解决问题。
(教改将平均数移到统计中，就是因为现在数据解决问题越来越重要)
④通过策略解决问题
我们现在很少用度量解决问题，并且越来越多的从计算解决问题转向数据解决问题，基本也很少用策略解决问题，田忌赛马不要上了，在小学尽量不要上了，把人上坏了，舍生取义or成功学，不教人投机倒把。
数学有几类量？
定性把握的量（属性量例如长度），定量刻画的量（厘米）
（千克、克、吨，先讲千克，因为千克能把握，有手感。手感+数感=克、吨，越上越快，越上越简单）
关系量：大小、倍数、
运算量：被除数、除数、商……
统计量
对应的，每一类量都有量感。
后记：只有有事才能发生加减乘除。一个物体是不是事，比较是不是事？
俞答：一个物，我把它分了，它没事，这是我的事。两个物他俩没发生事，我忍不住比较，那是他俩没事，是我整事。
悟：也就是说这个事，不一定是这个物发生的事，这个发生的事也可以是观察者发生的事。
俞正强老师格外受关注、受喜欢，因为与众不同，因为出乎意料（首先与其他人不同，其次与自己不同，即与过去的自己不同），讲解内容和其他老师很不相同，没有ppt，纯手写、纯讲课，问啥讲啥，不用准备，一方面有底蕴，另一方面专业能力极强。
俞正强不仅能让人知识丰富，更能把人提升境界。有人授业，有人既能授业又能传道解惑。
12册书变成了一张图。复杂的事情简单化，大道至简，受教。