作者介绍
我是乐清市知临寄宿学校四年级越1班的李昀泽。我性格开朗，兴趣广泛，喜欢绘画、围棋、编程，特别喜欢数学。空闲的时候，我喜欢琢磨一些数学问题，有时一道难题会让我思考很长时间，但琢磨透了，会带来满满的成就感。希望未来我可以一直保持学习热情，不断进步！
一、发现问题
我们日常玩的很多游戏中都会用到骰子，有的只投掷一枚骰子，有的则同时投掷多个骰子。在玩的过程中我发现一个有趣的概率问题：如玩“飞行棋”时，一般通过投掷一枚骰子来判断可以向前走几步，因为骰子投掷停稳后6个面都有可能朝上，结果完全是随机的，所以6个点数出现的概率均相等，为1/6。但如果是玩“大富翁”游戏，则每次需要同时投掷两枚骰子，那么两枚骰子的点数之和出现的概率是否也是相等的呢？
于是，我带着疑问请教了数学老师。老师问：两个骰子点数之和可能有哪些数？我回答：有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。老师在纸上记下了这11个数并把它们分成两组，一组是2、3、4、10、11、12，另一组是5、6、7、8、9。接着老师又问：如果我们来比赛投骰子，这两组结果让你先选，你觉得哪一组更容易获胜？我毫不犹豫地选择了第一组。老师笑了笑说：确定吗？你回去试验一下，再来告诉我最终结果哦。
二、研究过程
我之所以选择2、3、4、10、11、12这一组，是因为它有6个数，比5、6、7、8、9多一个数，因此获胜的概率更大一些。不过这只是我的猜想，接下来我采用实践法对自己的这个判断进行验证。
规则是：将这两组数分别命名为学生组（2、3、4、10、11、12）和老师组（5、6、7、8、9），通过投掷两枚骰子，记录每次点数和，从结果来分析哪一组获胜的概率更大。一共投掷三轮，每轮设置投掷次数为100次。
经过第一轮投掷，结果发现： 学生组赢了39次，老师组赢了61次。
经过第二轮投掷，结果发现： 学生组赢了41次，老师组赢了59次。
经过第三轮投掷，结果发现： 学生组赢了35次，老师组赢了65次。
三轮投掷每次都是老师组胜出，这不禁让我对原先的判断产生怀疑。不过，这会不会是凑巧呢？也许是因为投掷次数少，样本数量不足，导致结果不准确。
那该如何来扩大样本量呢？我决定借助更加科学和便捷的工具来进行研究。通过我已经学会的编程软件，可以把投掷次数增加到1000次甚至10000次，省去投掷骰子和手工统计这个步骤，并得出更加严谨的结论。
我采用图形化编程软件Scratch来模拟掷骰子，程序设计思路如下：
1）将老师组和学生组的初始分数设置为0
2）设置重复执行次数
3）骰子A设置为在1和6之间取随机数
4）骰子B设置为在1和6之间取随机数
5）如果4＜骰子A+骰子B值＜10，则A组分数得1分；否则B组分数得1分，返回重复执行。
程序如下图所示：
先设置投掷次数为1000次，运行结果显示学生组赢340次，老师组赢660次。
我又运行一次程序，运行结果显示学生赢359次，老师赢641次。
再次运行一次程序，运行结果显示学生赢316次，老师赢684次。
设置投掷次数为1000次的程序共运行三次，结果都是老师赢的概率大于学生。下面我把投掷次数调整为10000次，看看投掷结果如何。
第一次运行结果显示学生赢3243次，老师赢6757次。
第二次运行程序，结果显示学生赢3351次，老师赢6649次。
第三次运行程序，结果显示学生赢3349次，老师赢6651次。
通过Scratch编程方法，分别模拟了投掷1000次、10000次的骰子，结果都是老师赢的概率更大。看来我原先的判断真的错了，但结果为什么会这样我还是不清楚。
为了搞清楚真相，我打算用枚举法把每种点数和出现的情况都列举出来。已知每枚骰子都有6个点数，那么两枚骰子的点数和一共有6*6=36种组合。如下表所示，第一行和第一列代表两枚骰子的从1到6的点数，把两个点数相加的所有点数和填入剩余空格内。
如果点数和是2，点数只能是1+1，那么概率为1/6*1/6=1/36；
如果点数和是3，那么点数可能是1+2或2+1，那么概率为2*1/6*1/6=2/36；
如果点数和是4，点数可能是1+3、3+1、2+2，那么概率为3*1/6*1/6=3/36；
如果点数和是5，点数可能是1+4、4+1、2+3、3+2，那么概率为4*1/6*1/6=4/36；
如果点数和是6，点数可能是1+5、5+1、2+4、4+2、3+3，那么概率为5*1/6*1/6=5/36；
如果点数和是7，点数可能是1+6、6+1、2+5、5+2、3+4、4+3，那么概率为6*1/6*1/6=6/36；
如果点数和是8，点数可能是2+6、6+2、3+5、5+3、4+4，那么概率为5*1/6*1/6=5/36；
如果点数和是9，点数可能是3+6、6+3、4+5、5+4，那么概率为4*1/6*1/6=4/36；
如果点数和是10，点数可能是6+4、4+6、5+5，那么概率为3*1/6*1/6=3/36；
如果点数和是11，点数可能是5+6或6+5，那么概率为2*1/6*1/6=2/36；如果点数和是12，点数只能是6+6，那么概率为1/6*1/6=1/36。
学生获胜的点数和出现的概率之和为：
1/36+2/36+3/36+3/36+2/36+1/36=1/3
老师获胜的点数和出现的概率之和为：
4/36+5/36+6/36+5/36+4/36=2/3
老师获胜的点数和出现的概率总和大于学生获胜的点数和出现的概率总和，因此老师获胜的概率更大一点。
为了验证结果的正确性，接下来我采用C++编程方法来计算每种点数和的概率。
程序如下：
依次输入所有可能出现的骰子点数和（2至12），利用程序计算出对应骰子之和出现的概率：
点数和为“2”时，运行程序得出概率为：1/36。
点数和为“3”时，运行程序得出概率为：2/36。
点数和为“4”时，运行程序得出概率为：3/36。
点数和为“5”时，运行程序得出概率为：4/36。
点数和为“6”时，运行程序得出概率为：5/36。
点数和为“7”时，运行程序得出概率为：6/36。
点数和为“8”时，运行程序得出概率为：5/36。
点数和为“9”时，运行程序得出概率为：4/36。
点数和为“10”时，运行程序得出概率为：3/36。
点数和为“11”时，运行程序得出概率为：2/36。
点数和为“12”时，运行程序得出概率为：1/36。
通过C++编程软件，发现运行程序得到的结果与我计算的结果一样，验证了我前面的分析是正确的。最后，我把计算得到的每种骰子点数和的概率画成饼图，如下所示：
通过饼图，可以很直观发现：老师组点数和5、6、7、8、9（阴影区）的概率总和明显大于学生组2、3、4、10、11、12（非阴影区）的概率总和。
三、得出结论
通过研究，我发现了投掷两枚骰子的点数和的概率并不相同。老师通过分组比赛的小游戏启发了我，让我明白了要赢得这个比赛并不依靠点数和的数量多少，而是要看具体概率大小。
四、拓展研究
我输掉比赛是由于两个组的概率不同，那么能不能公平地将所有点数和分成概率相等的两组，一共有几种组合？
已知两枚骰子的点数组合一共有36种，要把点数和分成两组，并且出现的概率相等，则每组的概率都等于18/36。前面研究已经计算过点数和从2到12分别对应的概率为1/36、2/36、3/36、4/36、5/36、6/36、5/36、4/36、3/36、2/36、1/36。那么，这个问题就变成：从1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6中任意选择其中的几个数字相加等于18，可能有几种组合？
由于5+5+6=16＜18，1+1+2+2+3+3+4+4=20＞18，所以要相等于18，至少需要4个数字，最多需要7个数字。
4个数相加的组合有：6+5+5+2、6+5+4+3、5+5+4+4，共3种组合。去掉重复的组合的话，7个数相加的组合有：2+4+2+3+5+1+1、3+3+1+4+1+4+2、6+2+3+1+3+1+2，共3种组合。
5个数相加的组合有：2+4+5+5+2、3+3+5+5+2、6+1+4+5+2、6+2+3+5+2、6+5+5+1+1、1+5+5+4+3、2+4+5+4+3、6+1+4+4+3、6+2+3+4+3、6+5+1+3+3，共10种组合。去掉重复的组合的话，6个数相加的组合有：1+5+1+4+5+2、1+5+2+3+5+2、2+4+1+4+5+2、3+3+1+4+5+2、3+3+5+5+1+1、6+5+2+3+1+1、1+5+1+4+4+3、2+4+2+3+4+3、6+1+4+1+3+3、6+1+4+2+2+3、6+1+4+4+1+2，共11种组合。
以上组合全部相加，一共有3+3+10+11=27中组合。
四、感想体会
无论在学习中还是生活中，我们都会经常发现一些数学问题，在解决问题的过程中我们常常被表象迷惑，轻易地下了错误的结论。通过这次小课题研究，我认识到只有不断通过实践研究，找出问题的本质和规律才可以得出结论，毕竟实践才是检验真理的唯一标准。
另外，在研究数学问题过程中，我们要学会应用工具和方法，比如通过掌握编程方法，能够帮助我们更加科学有效地解决问题，同时通过编程的思维方式，还可以提升我们分析和决策的能力。