为了更好实现“数量”从生活经验的理解到数学含义的理解的过渡，9月28日，我们以“关注数量，落实数学素养”为主题，在丹城五小教育集团丹南校区举办了本学年第一次师徒结对活动。
实践活动
欧巧红《单价数量总价》
欧巧红老师先让学生从购物小票里找到单价、数量、总价，找到学生的起点。再让学生经历挑一挑，挑出自己心目中的单价的活动；说一说，说说为什么是单价的活动，对单价有新的认识。在解决问题的环节，欧老师巧妙设计三个线段图，让学生发现单价、数量和总价的关系。在活动三中，欧老师让学生充分经历编题、读题、说题、分类等活动，巩固所学新知，渗透除法就是乘法逆运算的数学思想。而在最后的练习环节中，欧老师让学生尝试用不同方法解决问题，渗透了多角度思考的思想。
陈露露《单价数量总价》
陈露露老师先从学生生活经验出发，感受“单价×数量=总价”的乘法背景，初步感知其中的含义。陈老师再让学生举购物小票和生活中的例子，用画一画和算一算的方法来验证关系，在整体认知中进一步感知含义。最后，陈老师通过买水笔哪种方案更划算的实际问题，让学生进一步积累解决问题的经验，发现单价和总价之间可以转换，对数学模型建立完整的认知。
互动评课
课后上课的两位老师进行了反思，夏校也组织其他导师和学员对这两节课进行了评课。
观点报告
葛玲芝《顺学而教，体验意义》
葛老师先分析了教材，指出教材窄化了单价的含义，本课重要的是对单价展开教学。葛老师通过对学生的前测，明确从学生已有经验入手引入教学，是一个可行的策略。因此，葛老师指出，本课应以理解“单价”的意义为重点，以建构数量关系解决生活问题为目标打破教材限制，充分关注学生的原有经验，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型的过程，沟通起常见数量关系之间的联系，发现单价数量总价的关系和乘法一般问题中的“每份数×份数=总数”本质相同，在整体认知中建立模型概念。
夏士勇《聚焦概念，理解关系》
夏校长讲述了“三新”背景下一线教师该如何落实学生的数学素养，明确了要给学生清楚的目标指向，同时夏校长也指出了设计好学习单和板书的重要性，并对同课异构的这两节课进行了分析。
两位老师的设计有共性之处，紧紧抓住本节课的重点：单价概念的理解和突破，数量关系的探究，开展教学研究。
1.从教学伊始，引入超市小票，其目的就是为了勾起学生对于生活情境的回顾，在回顾中发现数学信息，初步理解数量单价总价的概念，既兼顾了学生的生活经验，激发了学习的欲望，也体现数学与生活的密切联系，为模型思想的建立做了极好的铺垫。
2.然后着重理解单价，从大量的事例中，感悟单价是一个计量单位的价格。
3.发现数量关系。这个环节两位老师，设计了不同的思路，小欧老师采用先尝试解决老师提供的三个问题，初步感知三者之间的关系。然后自己举例验证，最后确定发现三者之间的关系。小陈老师则大胆放手让学生自己探究单价、数量、总价的关系，先猜想再验证，发现规律。两人用不同的方式，站在学生视角，理解数量关系，有异曲同工之处。总之我们从生活现象中发现数学信息，从而提出问题、分析问题、解决问题，我们在这个过程中发现了关系—— “单价×数量=总价”和“总价÷数量=单价、总价÷单价=数量”，并回到生活，解决更多的问题，使知识得到了应用。
建议:
1.我们在让学生探究之前，必须让所有学生知晓学习单的任务，在这个环节中，往往出现目标指向不明确，探究方向模糊，学生效率不高，甚至无效。
2.材料的运用尽量用完整。比如选择题的处理，这几个选项都有各自的用途，不要简单的选择其中的几个，应该更好的利用错误资源展开教学。
课后反思
欧巧红老师
本节课要突破两个关键点，一个是单价的概念，一个是单价、数量、总价的数量关系。在单价概念的突破上主要通过理解多个单价的例子，一个商品的价格是单价，但一盒商品的价格、一箱商品的价格也可以是单价学生比较难理解，因而需要特别提出并讨论，但在这一环节处理时进行的有点快，可以更深入一些。在数量关系的处理上，需要抓住其由来、联系，因此在学生回答时多次询问为什么用乘法、为什么用除法，帮助学生深切体会到，这些数量关系都来自乘除法，他们只是乘除法中比较有代表性的一类。但是在这环节中小结不够到位。练习时可再增加一些非单价数量总价关系的乘除法解决的问题，帮助学生认识数量关系的一致性。
陈露露老师
本节课《单价数量总价》重在对单价的理解和数量关系的探究。对于单价的“单”，学生基本上都认为是“1个”，但其实它是“1个计量单位”，所以在教学中先让学生自己尝试解读单价的含义，然后通过对单价的辨析引发学生的认识冲突，借助材料，逐步建立单价概念。在单价材料的出示上，可以再丰富一些，比如每500g等。
在第二大环节数量关系的探究中，先让学生猜想数量关系，再通过画和算举例验证数量关系。同时在本次活动中我也学到了，在往后的教学中可以渗透数量的一致性以及计算的一致性，拉进学生与数学的距离。
导师点评
葛玲芝导师
1.两位教师一开始创设学生熟悉的超市购物情境，聚焦各种标价牌，并通过对购物小票的解读唤醒学生的已有经验，用学生自己的语言表述对单价的认识，暴露学生对单价最真实的理解。这一板块主要是理解单价的意义，帮助学生建立正确的单价概念。在处理的时候我们一定要放慢，让学生说一说想法，材料可以再丰富一些，比如增加每500g22元，1组8元，让学生理解1个、1件、500g、1升、1小时、1平方米、一组、一箱都是一个计量单位，像这样商品的一个计量单位的价格叫做单价。
2.第二板块是数量关系的构建，我们可以用第一板块的素材，继续用，选择单价自编故事，画一画、算一算，将材料用精！数量关系不仅仅在于公式的记忆，更重要的是理解背后的意义，从乘法的意义上进行沟通，除法是乘法的逆运算。
3.我们要从数量关系的一致性进行思考，寻找“单价数量总价”这节课的根在哪里？其实跟乘法的数量关系：每份数x份数=总数本质相同，在整体认知中建立模型，构建数量关系的一致性。
俞静静导师
《单价数量和单价》这节课属于典型的乘法模型解决问题课例，四年级学习本课前学生的生活经验和解题经验非常丰富，本课对学生来讲可谓是“最熟悉的陌生人：在生活中早就与之打过交道；已知物品价格和数量求总价的一步计算实际问题做起来不费吹灰之力；总结三量之间“一乘二除” 的关系，大多数学生也能脱口而出。但这样看似简单的课，我们该如何深挖，如何找准学困点和教学难点的平衡呢？今天两位老师的课给了我们很大的启发。
一、丰富“单价”概念，促进本质理解。
两位老师都给学生提供了丰富的学习素材，如：汽油每升几元、每小时几元、每箱几元......让学生交流、探讨发现什么是单价。通过这些素材使“单价”这个概念逐渐丰满起来。
二、深化三者之间的关系，促进解决问题能力的提升。
两位老师都借助学习活动让学生自己编一编，画一画、算一算等方法让学生厘清“单价×数量=总价”，“总价➗数量=单价”，“总价➗单价=数量”这三个数量关系，并有意识地去探讨为什么这样算背后的道理，从乘法的意义上进行沟通，除法是乘法的逆运算。而且还设计了“单价与总价相对性”的辨析题，让学生明确并不是带有“每”字的信息就是表示单价！这样的辨析能有效地让学生感受单价和总价的相对性，也能体验解决问题时审题的重要性。
最后，想提的建议：欧老师对后面练习题的呈现都是文字，可以向陈老师学习一下图文并茂，这样让学生有画面感，更贴近生活，理解起来更容易些。而陈老师在出示学习单厘清三者之间的关系时，反馈形式是一问一答，有点累，所以是否可以改成：学生先独立思考——小组交流——集体汇报——完善补充。在整体认知中建立模型，单价数量总价之间的关系，其实跟乘法的数量关系：每份数x份数=总数异曲同工，打通数量关系的一致性。
沈海英导师
1.本课是典型的乘法模型解决问题课例，两位老师通过“已知＿，要求＿，也就是求＿是多少。所以用＿计算？”这样的句式让学生感知解决问题的一般步骤，为后面解决问题起到潜移默化的作用。此环节可以让学生开展小组活动，然后教师提炼本质。
2.两位老师还深挖“单价”的概念，促进本质理解。
（1）丰富“单价”的概念。
如：牛奶每箱（）元，每瓶（）元。
（2）但在图上应让说一说哪部分表示单价？总价？数量？
3.在交流分类反馈时，让学生提出问题，再次让学生加深对解决问题的一般步骤的印象。同时通过比较，让学生发现并表达只要知道“单价X数量＝总价”这个数量关系式，就可以知道其他两个数量关系式，为在解决问题提供解题依据的同时，渗透除法就是乘法逆运算的数学思想。
4.两位老师练习都增加“单价与总价相对性”，也可“单价与数量的相对性”的辨析练习，让学生体验解决问题时审题的重要性。
如：【单价与总价相对性】辨析练习选择合适的问题列式计算。
每扎汽水90元，一扎6瓶，_______?
A.每瓶汽水多少元？
B．买4扎汽水要多少元？
C．买4箱汽水多少元？
教师除了让学生汇报问题A、B的计算与理由。还应让学生理解单价的相对性：针对题组情境讨论：这里的90元怎么一会儿是单价，一会儿又是总价呢？且还应让学说说“你为什么不选择问题C？”这样可以让设计的题充分利用起来。
周丽导师
两位老师同课异构，有共同优点：
1.结合生活实际，导入亲切自然。 两位老师都善于结合课堂教学内容， 去寻找生活中的数学实例，都出示了逛超市的购物小票， 让学生去发现里面的单价、数量和总价三者的关系。因为每个孩子都有去超市购物的经历，所以孩子们很兴奋，很激动，在不知不觉地学习中，也感受到了数学来源于生活，生活中处处有数学，同时也调动了学生的学习积极性。
2.都把对“单价”意义的理解作为本节课的一个重点，以建构数量关系解决生活问题为目标，打破教材限制，充分关注学生的原因经验，让学生经历了把实际问题抽象成数学模型的过程。
3.练习的设计有层次性，由浅入深，对单价的意义，从“每箱苹果60元”到“每盒水笔24元”，是单价还是总价？给于了具体环境来具体定位，再次强调了本节课的重点。
另外，还有一个建议：平时的数学教学中要注意沟通各知识点之间的内在联系，数量关系的一致性，让学生能更好地掌握知识点，少些记忆性的东西，多些理解性的内涵。
叶曾红导师
概括地说本节课的主要内容包括三块：
1、理解单价、数量和总价的内涵。
2、建立单价、数量、总价之间一乘二除的数量关系模型。
3、能用模型解决问题。
新授部分通过三个层次展开，第一层次：初识单价、总价、数量。第二层次：单价的表征和含义提炼。第三层次：数量关系的抽象。
两位老师课的设计结构相似，但在处理上略有不同，陈老师在教学数量关系的抽象上更新颖、开放，而欧老师在单价的表征和含义提练上更深入些。两位老师都把时间花在了建立单价、数量、总价之间的数量关系模型，并能用模型解决问题上。对于单价的教学花的时间不多，虽有提及，但我认为还不够深入，其实学生对单价的理解是肤浅的，在这里我们需要安排一个具体的环节展开。尤其是单价和总价的相对性，学生是缺乏认识的，需要通过具体的例子，让学生想一想、算一算、比一比去体会。
那么用什么方式表征单价呢，我认为可以分四步走。第一步，初识单价和总价后，可以安排一个找单价和总价的活动，哪些是单价，哪些是总价，圈出单价，划出总价。在这一步中，我们可以达成两个目标：一是体会单价与总价之间不同的表达方式及对应关系。二是帮助学生理解单价和总价的相对性。第二步，用图示表征单价。第三步，画线段图提炼单价。我们可以利用第一步的题目让学生画一画，教师则巡视收集学生作品，组织讨论、理解图示、找单价，接着问：这些单价有什么相同的地方？引导学生说出单价就是一（每）件商品的价格。第四步，举例理解单价的含义，在这个环节中，我们可以利用第一步中的题目，将它改写成单价的另一种形式，并教学写法和读法。教师进一步说明，房子不仅可以用来用（）元／幢，也可以用（）元／平方米来表示，接着问：房子的两种单价有什么不同？从而总结得出计量单位不同，所以单价描述方式也会不同。但都表示每件商品的价格都叫做单价。这样通过画线段图表征单价，抽象单价概念，对比单价的不同表示方法，让单价含义的共性可视化，理解每件商品不仅仅指一件，一克，一条等，还包括每平方米，每小时，每秒等连续量，从而帮助学生理解单价的本质。
学员探讨
翁倩倩老师
同课异构的两节课《单价、数量和总价》两位老师各有各的优点，两位老师都是从生活经验出发，超市的购物小票引入，贴近生活，引发共鸣，学生观察小票找出数学信息，顺利的引出课题。欧老师通过三个活动逐层递进，第一层：解决什么是单价，提出每箱是单价吗？学生来理解，每箱也是一种计量单位，得出一个计量单位的价钱叫做单价。第二层：通过三幅图逐渐引出数量关系之间的关系得出数量关系式。第三层：学生自主研究画图去真正理解这些数量关系式，起到验证作用。练习中也是从多角度思考，来解决问题。陈老师在探究新知时，在解决重难点数量关系式时，放手让学生自己列数量关系式，并自己画图、列式验证，教学比较大胆，充分挖掘学生的潜力，练习完时可适当总结。
陈艳老师
本节课的第一个重要环节是单价的概念理解，老师给出生活中常见的一些事物，作为例子引导学生进行分辨。部分学生会认为一箱牛奶52元是总价，但是结果探讨之后我们发现一箱牛奶52元也可以是单价，就是将一箱作为单位1来看待。学生就会在原有的认知基础上进行概念升级，对一件物体的价格就是单价有更深刻的理解。
本节课的第二个教学重点就是单价数量总价的关系探讨，俩位老师采取了不同的教学设计，第一位老师更为细致一些，一步步引导学生发现三者之间的关系，并探究了为什么用乘法或除法来解决这一类的问题；第二位老师的框架则更大一些，直接放手交给学生，让学生自己探究三者的关系，并自己给出例子进行证明。在这里其实作品的选择和反馈是一个非常有难度的事情，学生的作品较为丰富，有画线段图的，有画实物图的，也有列算式的，大大丰富了课堂的表现，有助于学生从多个角度进行了解。
在课堂巩固环节，通过几道习题的设计，让学生感受到单价数量总价在不断变化却又本质不变的过程，合理德选择恰当的关系式来解决生活实际问题，加强了学生实践运用的能力。
沈熠文老师
欧老师的《单价数量总价》一课层次清晰，根据孩子的生活经验，从超市小票导入，对单价、数量、总价三个概念的教学，特别在对于单价的学习，欧老师设计活动一，引入生活中的单价，请孩子们说一说，这里对于每箱60元这个易混淆点教学，欧老师细心引导，让孩子发现：当一箱里面有好几个苹果，每箱60元可以是总价；当按照一箱一箱来卖，小票上写60元/箱，每箱60元也可以是单价。不同的情境下，每箱60元具有不同的意义。紧接着，欧老师设计活动二，用单价来解决问题，引出三个数量关系。再到活动三，让孩子们编写相关问题并解答，考虑从画实物、画图形、画线段等方式，帮助孩子们对数量关系中算法和算理的理解，若是作品能够取自于现场的学生，那就更加好了。
陈老师的《单价数量总价》一课，立足于学生，作品取之于生，用之于生，让孩子们解释自己创作的作品更加有味道。另外习题设计上也比较值得学习，有一个题目设计买12支笔，每盒24元，买5盒需要多少元？这道题不仅涉及到本节课所教授的数量关系，也蕴含着孩子之前学习过的含有多余信息解决问题这一题型，在解答完该问题，陈老师还问到什么时候24元会变成总价？让孩子明白当把一支笔的价格看成单价时，一盒笔的价格是总价；当吧一盒笔的价格看成单价，一箱笔的价格是总价。在不同的情境下，一个东西可以看成单价也可以看成总价。最后，在导师的分析下，又对这类课有了新的认识。今后遇到这类课，除了要注重对知识本身的教授，还需要更多地考虑打通数量关系的一致性，使得单价×数量=总价抽象成每份数×份数=总数，形成初步模型，在今后教学速度×时间=路程，效率×时间=工作量的时候，把该模型拿出来，进行适当补充，逐步形成完整丰盈的模型。让孩子们发现原来数学那么有意思，可以用一个模型解决三种甚至更多类型的问题，也让孩子慢慢放下畏难的情绪，实现真正地减负。
胡灵芝老师
《单价数量和单价》是一节典型的乘法模型解决问题的课例，如果仅从问题解决的角度而言，即使课堂上不教学，学生照样可以解决问题，但两位老师都没有简单处理，两节课同课异构，但她们都从学生熟悉的购物情境导入，让学生在找信息、理信息后，初步理解“单价、数量、总价”。接着，从学生所熟悉的单价入手，深挖“单价”概念，在对比辨析中理解单价的相对性，让学生对单价的理解从一个物品的价格到一个计量单位的价格。本节课第二个重点是单价数量总价三者间的数量关系，两位老师在处理上有所不同，欧老师是让学生在解决问题中概括出数量关系，然后通过学生自主编题、列式解答，从学生丰富的材料中验证数量关系；陈老师则是放手让学生探究，找出数量关系再加以验证。虽然处理方式不同但各有优势。
朱宋逸老师
“单价×数量=总价”是乘法模型中一组常见的数量关系。本节课的重点：①对“单价”意义的理解；②“单价、数量、总价”关系的本质是“每份数×份数=总量”。两位老师都选取了丰富且贴近学生生活的素材，引导学生编数学小问题或举生活例子来验证，并通过画一画、算一算的方式，搭建具象化支架促进关系建构。欧老师设计的汽水问题、陈老师设计的买笔问题，都旨在让学生在具体问题中体会“单价”的意义。如果再进一步设计出更大单位、更小单位的对比变化，给学生的感觉可能很强烈。
史亮亮老师
《单价数量总价》这节课的重点是单价的含义以及三个数量关系式的本质。陈老师从学生熟悉的超市购物小票导入，着重讲解三个概念量中的单价，通过每平方米、每箱、每本等一系列词，让学生感受到单价其实是一个计量单位的价格。以文字、线段图、图式等方式探究它们的数量关系，并究其根本。练习丰富，层层深入，打破概念的界限，在不同情况中既可以看成单价，也可以看成总价。
葛华敏老师
陈老师的这一课，从学生熟知的生活信息入手，学生对去超市购物这一场景是非常熟悉的，开课伊始，呈现超市购物小票，让学生从中寻找数学信息，使学生初步感受到生活中处处有数学。
通过观察这些熟知的生活信息，将生活中的数学信息逐渐地引向数学化学习，进一步认识“单价、数量与总价”的含义。通过“你能不能发现单价、数量、总价这三者之间有什么关系”这一问题，让学生在观察、对比和思考中主动建模：单价×数量＝总价。并且尝试利用购物小票中的数学信息通过画一画、算一算的形式验证自己的猜想。
在后续巩固练习的设计中，陈老师将数学信息利用得很充分，通过前后信息的勾连将整个练习串成一个整体，特别是在最后一题，增加了干扰信息，引导学生学会运用数学模型灵活解决生活实际问题的解题策略。
杨谨闻老师
欧老师每个环节步子较小，内容落实较扎实。从超市购物导入，解释单价、数量、总价的意思。然后看图请学生说已知什么求什么，推导出3个数量关系式，并在学生说出算式后追问“为什么用乘法/除法？”最重要的环节就是请学生编一个数学小问题，并且通过多种方式呈现出来，可惜的是欧老师没有采用学生创造的资源，不过种类也很丰富。在练习三中，提醒学生可以从不同角度思考——学生从比单价、总价、数量三方面思考，可以小结为我们联系这3个量，其实它们藏着的数量关系其实是一致。
陈老师在探究数量、单价、总价这三者的数量关系时，让学生自主探究，并自行举例验证，把课堂交还给学生，充分发挥学生的主动性，在教室的引导下高效地呈现了作品的丰富性。并在练习三中，追问学生“24元什么时候表示总价？你可以提个问题吗”给学生充分思考的机会，让学生理解同一个数据在不同情境下，可以表示不同的含义。
数学学习基于生活，又高于生活，课堂教学基于教材，但不能限于教材。通过本次师徒结对活动，我们认识到要让学生在整体认知中，经历将生活中的具体问题抽象成数学模型的过程，并经历将抽象的数学模型应用于解决具体问题的过程，由此建立模型化的数学思想。