采他山之石以攻玉，
纳百家之长以厚己。
研训时有长短，
成长未有穷期，
短短几天培训是触动，是思考，
更是唤醒和点燃。
八月的初秋，仍有着夏的余韵。一群喜欢数学的人在做着一件有价值有意义的事，让数学和秋天来一场温柔的邂逅。不负秋日时光，临沂市小学数学骨干教师研修班于8月21日在“诸葛故里，红嫂家乡”沂南县经济开发区实验学校正式开启。这是迎接2023年秋季新学期送给临沂小数人的礼物🎁，更是属于热爱数学执着研究数学的小数人的特别时光。为期三天半的学习，干货满满，收获满满。带你一起品味数学之美。let's go!
本次活动我们研究的是乘法主题学习，从乘法的初步认识—>笔算乘法—>两位数乘两位数—>三位数乘两位数—>小数乘小数—>分数乘分数，小学阶段中整个乘法体系串成一条线，成序列系统梳理。在计算教学中，“会计算”是我们关注的重点，掌握算法并能正确熟练进行计算是学业要求。新课标中指出“数的运算教学注重理解算理与算法之间的关系”“感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识。”可见，计算教学不仅要关注“算法”还需要关注“算理”，将未知转化为已知，感悟转化思想，落实于一个一个具体教学内容，应该是一个“种子——发展——成果”的进阶过程。在参加本次研讨活动之前，每个团队都挖得很深，不约而同地关注了数学本质。数与运算的灵魂——计数单位。可是这个计数单位如何“深入浅出”接地气地出来，如何设计一个有效的问题启动，让学生很自然的接纳和理解，这是最难的事。
高端的理论都能讲出来，关键孩子们能听懂吗？能接纳吗？云里雾里的教学，再高深，也仅仅是在云端跳舞，而不能贴地而行，都将是无效的。
数学是一个统一体，数学运算也是一个统一体。数的建构与数的运算都是基于计数单位进行的，却是两个互逆的过程：一个是经历了很长的历史锤炼组装起来的，一个是慢慢拆解开来的。数的概念是数的运算的基础，数的运算是对数的概念的再应用。
乘法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘。
本次研讨学习我们蒙阴小数团队研究的课题《分数乘分数》。前期在我县小数团队王鑫主任和张富荣校长的带领下，我们深入研读了新课标、教材及学情分析。每位成员都从自己的角度阐释了对本节课的理解，多次思维碰撞，团队的推敲研磨，最后我们取其精华，整合形成通稿。接下来就是一次次模拟上课，老师当学生，王鑫主任和张富荣校长一路陪伴与指导，发现问题，提出问题并逐一解决问题。整个研课过程将近一个月的时间，是曲折的，是过山车似的思维碰撞过程。在试教、修改、反思中成长！在困惑、痛苦、顿悟中成熟！
带着我们团队研讨的课例《分数乘分数》来到沂南，第一环节就是各县区展示，以抽签的形式呈现，谁抽到“王”谁来讲。结果我很“幸运”地抽中了“王”，我们团队打磨的课例由我来展示。很激动的同时也很忐忑，当时的心情五味杂陈。好在有强大的团队给我打气和鼓励，团队的其他的小伙伴也在认真当好学生，团队的荣誉高于一切。课讲完了，学习、研究、探究没有完。瞬间感觉对这节课的理解更深刻了。
整数和小数的计数单位都是按照“满十进一”和“退一作十”的规则进行建构，他们一起构成完整的位值系统。但是分数的计数单位（也就是分数单位）不似整数明显，原因是：分数的计数单位虽然可以按大小排成一列，但这些计数单位之间没有明确的倍数关系。这不利于推演分数运算的算理、推导算法。所以在《分数乘分数》一课时，要对多道算式进行比较求同，感悟计数单位产生的条理性。说起来容易做起来难。
讲完后，已经接近十一点了。分数乘分数，学生最难理解其中的算理，利用数形结合，发现分数单位在计算中发生变化，产生了新的分数单位，理解分数乘分数同样是求相同计数单位累加的过程，突出分数乘法计算的一致性。道理对于老师很明白，但是如果换位思考，学生能懂吗？听了于科长的总结及点评，“深入浅出”给我的触发更多，通过讲这样一节课，我们不断发现，计数单位的抽象性与学生思维的形象性有一定的矛盾，要让学生亲身经历计数单位的产生的过程并不容易。如何深入浅出地将计数单位的事呈现出来，以怎样的问题启动，如何有效还接地气，真的好难。没有厚积薄发的数学功底，很难做到深入浅出地去教学生。
之前我们预设了很多种情况，如果学生课一开始就都会算了咋办？如果出现不了这种预设情况咋办？实际教学中具体采用哪种思路，正如于科长所说，应依据具体学情而定。
如何贴地而行，而不是在云端跳舞？我们的思考延续到凌晨。团队的每一个人都思考如何突破这个计数单位问题。半夜我们又交流了起来。问题初探：师：1/2的1/5是多少？为什么是1/10呢？把你们的想法在学习单上写一写画一画。
反馈：经过大家的思考，1/2×1/5你是怎么画的呢？
反馈学生作品：生：1/10
师：它是怎么来的？
生：我先表示出1/2，就是把1公顷平均分成2份取其中的1份，再把这1份平均分成5份，取其中的1份，分了两次就相当于把1公顷平均分成了10份，取其中的1份就是1/10。
师：谁听清楚10是怎么来的？
生：第一个分数的分母乘第二个分数的分母，就是10。
师：就是第一个分数的分数单位乘第二个分数的分数就是新的分数单位。
第一个问题着力较多。即分数单位乘分数单位产生新的分数单位，分母相乘后所得的新分母即表示平均分成的份数，也就预示着产生了新的分数单位。
二次探究：
师：玉米地的面积又是多少呢？
展示学生作品并反馈：
师：我们看这两道算式，它们哪里相同？
生：它们都产生新的分数单位。
师：为什么相同？
生：因为前面两个乘数的分数单位相同，1/3×1/5=1/10。
师：分子为什么不同？
生：土豆面积有1份，玉米面积有3份，它们的份数不同。
师：分子乘分子就是新的分数单位的个数。
结合图示学生得出“分了又分得到新的分数单位”“取了又取得到新分数单位的个数”，并用分母相乘表示新的计数单位、分子相乘表示新的计数单位个数的计数过程。在多组题目的比较中，使得分数计数单位的产生更加有条理。
本次活动的第二环节就是县区合作一起打磨一节课。本次活动，我们是和平邑团队合作，分数不分“术”，蒙阴平邑是一家，我们是超级联“蒙”团队！本次活动我们两个团队团结一心，充分发挥各团队的优势，取其精华，共同商讨，修改再修改，推翻再推翻，一次次思维“打架”最后形成不约而同的思路，是于科长的一番话给我们启迪，分母乘分母表示什么？分子乘分子呢？分母乘分母表示的是分了再分平均分的总份数，分子乘分子是取的份数。如何将计数单位在其中自然出来，还不那么突兀，这是我们要思考的问题。
蒙阴平邑两个团队从早上八点一直研磨到第二天凌晨四点多，思路才渐渐明朗。那么好的宾馆，躺在床上的时间真的好少，不是不让我们睡，是每个人都自愿熬夜，自己主动去研讨。那么好的伙食，也都是匆匆吃几口或顾不上吃就又开始研讨了，从早到晚都是在研究课怎么上，那份热情挡不住！
首先，从第一天我们和平邑上的两个课例可以看出，教师在借助几何直观来解释算理的时候，大多停留在“几何表象”。即，分母乘分母——总共分成多少份；分子乘分子——总共取多少份。但是这样的表达还未上升到“计数单位”的层面。学生此刻能感受到的是长方形被“细分”了。但本质是分数单位被“细分”了。直观看，是1份和10份的关系，但本质是，1/2这个分数单位乘上1/5这个分数单位后，再次被细分，从而产生了一个新的分数单位。注意，不止是分母乘分母（10），而是分数单位乘分数单位（1/10）。若是能在此处铺垫好，那么后面的分数乘分数和小数乘分数便顺水推舟了，完全可以给学生更大的探索空间。怎么来的，靠推理便可得。学生逐渐脱离几何直观，走向逻辑推理。说实话，很喜欢这样丝滑的推理过程，我很想在教学中进行这样的尝试，但我意识到一个问题是如果在以前的乘法教学中没有像这样借助横式推理的铺垫，怎么办？我在想，是否可以直接给出？显然不合适。借助图读懂算式，如两个1的含义，1/10是怎么来的等。
但之前都没怎么渗透过计算中的推理教学，现在的我可能更倾向于，在分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数之后，以“横式推理”为统领，一节乘法运算的推理课，从整数乘法、小数乘法到分数乘法。首先，逻辑推理对思维的层次要求较高，在新课中渗透我担心的学生理解起来有困难，其次，借助逻辑推理做一次乘法运算的统整，学生知识网络的建立会更“结构化”。如果放在第一节课分数乘分数中研究，因为分数乘法的运算定律还没研究，这节课就开始运用运算定律也不合适。最后还是于科长的一番点评启发了我们，她想到了用2个十乘3个十得6个百；2个0.1乘3个0.1得6个0.01；这样我们就摆脱了刚才的困扰，（分数乘分数的运算定律还没学）从整数乘法，小数乘法入手，从这个角度引入计数单位就比较自然容易了。
“高观点立意”，摆脱了“只缘身在此山中”的束缚；“贴地而行切入”，收获了“柳暗花明又一村”的豁然。
这堂课该怎么上，我想没有标准答案，在于我想要什么，或者应该说我的学生需要什么。
合算理算法，一致应用，保持跨学段的内在一致性，确保孩子们一直穿越在数感、运算能力、推理意识的路上，从而在学习中建好“承重墙”，打通“隔断墙”，将零散、碎片化的知识整体化、系统化、逻辑化，最终浸润数学思想，培育学生的数学学科素养，让学生获得生命的发展和素养的真正成长，让学生的未来更有创造性。
因为遇见，所以美好；因为碰撞，所以提升；因为珍惜，所以记录。通过本次研修学习，在于科长及各位专家的引领下，我们明白了怎么样打磨一节课？沿着什么样的思路走最接地气？团队合作怎么样更高效？怎么样让学生真得能学会？怎么样让学生能听懂？怎么样深入浅出，“润物无声”？…在于老师的带领下我们又一次忘却时间，在小数的道路上一路研讨一起成长！