追寻竖式之“源” 明晰运算之“理”
曲靖市第二小学 吴泰柏
一、教学内容
二、课标解读
三、教材分析
四、学情分析
五、教学目标
六、教学重难点
七、教学过程
（一）直入主题，认识有余数的除法竖式
1.看课题提疑问
2.通过操作、交流，认识除法算式中各部分之间的关系
3.用横式记录写出分小棒的算式。
【赏析：通过对加减法竖式以及有余数的除法相关知识的回顾，根据情境能列出横式理解算理，便于后续理解除法竖式中各部分的意义，深入理解竖式的写法。】
（二）借助教材，引导学生认识除法竖式
1.根据横式，尝试写出竖式
2.明晰除法竖式中各部分的含义
【赏析：借助实物操作，通过与横式的对比，了解有余数除法竖式的写法，知道除法竖式各部分的名称，让学生对照操作过程，对照竖式，理解除法竖式中各部分所表示的意义。】
（三）动手操作，掌握除法竖式的写法
1.初步感知。
2.操作体验。
师：谁能边分边说说竖式“13除以4”中每一个数的含义？
（教师根据学生的回答情况，再次说明除法算式中每个数所表示的意思。）
3.反复比较，理清竖式的写法
有余数除法的口算（横式），在表示方法上有什么相同的地方？有什么不同的地方？
【赏析：通过边分小棒边写算式这种对应的学习过程，帮助学生在直观操作的基础上理解除法竖式中每个数的含义，采用操作、对比、交流，再操作、再对比、再交流的方式，把新旧知识有机地结合起来，有利于学生突破知识上的局限；通过两种算式的对比，可以加深对有余数除法的不同表现形式的理解，为今后进一步学习除法算式的写法夯实基础。】
（四）迁移类推，理解表内除法的竖式
【赏析：让学生借助操作，自主探索表内除法竖式的写法，通过对操作过程、横式与横式、横式与竖式、竖式与竖式来加深学生对除法竖式的理解，掌握算法，提高辨析能力。让学生通过操作活动、语言表达、横式书写、竖式书写之间的转换，加深理解，使学生初步感受到表内除法是有余数除法的特殊情况。】
（五）数学史与数学文化融入课堂，介绍除法竖式的演变过程
【赏析：纵观千余年的历史，除法符号经历了若干次演变，才成为今天的形式。首先竖式是笔算的工具，其作用是减轻计算过程中的思维负担。除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的联系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。其次除法竖式的表现形式为程序性的运算，要让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清竖式中隐含的算理，并领悟学习除法竖式的便捷性。】
（六）变式运用，明晰除法竖式算理
【赏析：让学生根据除数的大小，判断出余数可以是哪些数，从而确定被除数是几。除法竖式谜是沟通除法各部分之间的关系，以此来考察学生的数量关系的运用；验算能力；推理能力。促进学生数学素养的全面提高。】
八、观课一得
《有余数的除法竖式》教材编写者先安排表内除法竖式，再教学有余数的除法竖式，其目的是遵循由易到难，分散难点，逐层突破的原则。编者认为表内除法的商与除法相乘的积刚好等于被除数，所求口诀中的积就是被除数，而有余数除法中商与除数的乘积小于被除数，其难度要强于前者，不利于知识难点的突破。其实这只是编者主观的臆断，根据笔者以往教学反馈情况来看，由于大部分学生不理解算理和除法竖式的特殊形式，错误的认为被除数是多少，下面的乘积也是多少，上下两个数应该相同，并把这种错误的认知推广至有余数除法的竖式计算，出现了依葫芦画瓢的现象。甚至有部分学生认为求商和除数的乘积这步计算是多余的，因为当正好分完时，被除数、除数和商已经把平均分小棒的结果准确、完整地表达出来了。这是首因效应带来的“副作用”,笔者适当调整一下教学顺序就能有效避免上述错误现象的产生。
如果先教学有余数的除法竖式，再放手让学生自主尝试解决表内除法的竖式计算，通过对比使学生清醒认识到如果没有分完，那么商和除数的乘积就小于被除数，只有正好分完的时候乘积才与被除数相同。而且正因为乘积小于被除数，最后相减后才有余数，而正好分完被除数和乘积相同，相减后得数为0，则说明没有余数。小学生因为生理、心理的特点，有意注意的时间一般不会持久。先教学有余数的竖式，有利于学生在注意力最集中的时候全神贯注突破难点知识的学习和掌握。反之，如果先教学表内除法竖式，再来学习有余数除法竖式，可能部分学生的注意力已经涣散了，这样学习效果将大打折扣。
同时，要想让学生在有意义理解的基础上建构竖式计算的算理和算法，除了要引导学生把操作过程和计算步骤建立有机的联系外，至少还要让学生部分参与竖式结构的生成过程。让学生在讨论、碰撞、交流、协商中自主感悟、体验这种特殊结构的合理性和简洁性。上述案例中有余数除法竖式生成的过程不是一帆风顺的，而是学生在不断矛盾冲突中调整、完善、重构以至趋于合理和认同的过程。起初学生根据旧有经验把商写在被除数的下面，当计算出分掉的小棒数量时，发现这样布局有矛盾，需要适时调整原先各数的位置关系，使旁观者也能一目了然，准确无误表达出平均分小棒的操作过程和结果。在这一过程学生不是旁观者，而是主动参与者和协商者。教师放手让学生自己讨论交流，正是出于对学生主体地位信任和尊重，学生的主观能动性得到充分的发挥。由于竖式结构是全体成员共同协商和制定的智慧结晶，当然能被学生接受和悦纳，所以在后续的学习过程也就不会出现依葫芦画瓢的现象。
《义务教育数学课程标准（2022版）》明确提出要培养学生的运算能力，而运算能力的形成是建立在算理的理解和计算法则掌握的基础之上。学生的计算技能需要经过有理有据、熟练计算、灵活选择三个阶段。只有明晰了算理，明确了计算方法，才能有助于学生计算能力的形成和提高。除法竖式计算规则，看似一种人为规定。然而这种规定背后隐藏某种必然的缘由，而教师需要做的就是引导学生挖掘并展现出其合理因素，让学生觉得数学是“讲道理”,而不是一味示范和讲解。本节课中除法竖式计算过程映射的生活原型就是学生分小棒的操作过程，只有学生理解这个竖式结构中每一部分数量的实际意义以及它们之间的联系，才能弄懂算理、掌握算法。案例中教师引导学生不停的在竖式计算和操作过程之间来回穿梭，当学生讲清楚竖式中被除数、除数、商、乘积和余数实际意义的时候，算理和计算方法已经不言自明了。这时计算过程就是对操作过程的符号化提炼，学生对数和数量关系的理解不是停留于外在的模糊认知，而是内在意义的深刻理解。以至于后面遇到除法竖式谜的题目时，绝大数学生能根据本节课有意义的构建，采用还原法，逆向思维，求出被除数。
九、课例重构
小学阶段学生学习除法竖式计算要经历：“表内除法”“多位数除以一位数或两位数”“小数除法”等几个不同阶段，纵观本节课，“除法竖式计算”表现为一种程序性的运算形式，若学生仅靠模仿操练，他们的理解不够深刻，那么在变式练习时势必会出现各种错误。基于此，教师如何更好的优化教学设计，更好地突破教学难点，帮助学生真正掌握基本“除法竖式计算”技能，并能在此基础上构建“除法竖式计算”的算理和算法。
（一）巧借减法竖式，探寻除法竖式之“源”
（二）展示简化竖式，构建除法竖式之“形”
（三）引导总结算法，明晰除法竖式之“理”
明确了除法竖式的标准化形式以后，引导学生总结归纳“除法竖式计算”的一般方法，学生可以自主小结，最终明确算法：一商，二乘，三减，四落。并且弄清除法竖式中为什么需要乘法和减法参与进来，乘法是为了记录一共分掉的数，而减法是为了计算分完后剩余的数，并再次强化除法竖式的规范化书写格式，需要注意的地方：商和余数应与个位对齐；不管是否整除，除法竖式都要写完整；整除时横式的得数就是商没有余数。除法竖式虽说是一种数学规定，但这种规定并非数学家的主观意向，而是一种知识内部合乎逻辑推演的结果。已有的研究成功已经能启迪一种有价值的重建——除法竖式与减法竖式同源，与除法意义同根，与所有竖式同质。重建历程使除法的竖式计算找到了一些相对原始的算理，进而使得除法竖式复杂的表象背后所蕴含的多维关系结构得以显现，新旧知识之间“非人为”的联系得以建立，深层次的算理得以升华。
基于以上课例重构，引导学生挖掘除法竖式的根源，了解除法竖式是如何简便而来，以及除法竖式结构中每一部分数量的实际意义和它们之间的联系，根植于减法的除法竖式计算教学从根本上改善了机械学习的模仿状况，提升了学生学习的能力和效果，让学生真正掌握算法，明晰算理。