什么是费马点问题呢？
1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(托里拆利的解法中对这个点的描述是:对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。)
2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
费马点问题如何求解呢？
法一:
如右图，在△ABC中，F为其中任意一点。连接AF、CF，得到△ACF。
费马点证明法一
以点C为旋转中心，将 △ACF顺时针旋转 60°，得到△A'CF'
∵旋转角FCF'=60°，且CF=CF'
∴△FCF'为等边三角形
∴CF=FF'
∴AF+BF+CF=BF+FF'+A'F'=折线B-F-F'-A'
易知当且仅当B、F、F'、A'四点共线时，AF+BF+CF取最小值。
∵△FCF'为等边三角形
∴∠F'FC=60°
∴∠BFC=120°
同理可证，∠AFB=∠AFC=120°
∴F点为满足∠AFB=∠BFC=∠AFC=120° 的点。[2]
法二:
如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF，
连接CD、BF、AE交于点O，试证:O是费马点。
证明:在△ACD、△ABF中，
AD=AB
∠DAC=∠BAF
AC=AF
∴△ADC≌△ABF(SAS)
∴∠ADC=∠ABF
∴A、B、O、D四点共圆。
∴∠AOB=120°。
同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。
过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST
是正三角形。
在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连
接GA、GB、GC。
易用面积法得:OA+OB+OC=GX+GY+GZ。
∵点到线之间，垂线段最短，
∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ>GA+GB+GC
∴点O是费马点。
过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法:当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。另一种更为简捷的证明 :设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点(如果不是，反射点为O',就会有BO'+ CO' < BO+ CO，而AO'= AO，就会有 AO'+ BO'+ CO' < AO + BO + CO)。
不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120°
(补充说明:AO、BO、CO是每个镜子的法线)
(1)根据定义，首先判断给定三角形的三个内角是否均小于120°.
1.以任意半径画圆0，并作出圆的一条直径AB。
2.以点A(或点B)为圆心，OA(或OB)为半径画出圆A(或圆B)
3.两圆相交于C点，联结AC，BC
4.则∠CBA或∠CAB为30°，∠C为90°，两角相加即为120°
(2)若大于等于120°，则该钝角顶点即为该三角形的费马点
(3)若三角形的三个角均小于120°，则继续做以下步骤
1.以三角形任意一边a向外做等边三角形
2.找出该等边三角形的外心，并作出外接圆
3.连接a边所对的两个顶点(连接AD)
4.该连线与外接圆交点即为该三角形的费马点
费马