“数”与“量”之间有着非常密切的关系，发展量感能更好地帮助学生理解数的意义，也能更准确地表述具体情境中的数量关系。
为了更好地解读2022版数学新课标中提出的“量感”，4月6日，我们以“关注学生量感培养”为主题，在下沈小学举办了本学期第二次师徒结对活动。
实践活动
欧巧红《年月日》
欧巧红老师借助2017—2022的年历表，让学生记录每个月有多少天，在统计表中发现、分类，把知识点梳理出来，再让学生自己想方法记忆。接着欧老师让学生选择一个年份，自己计算一年有几天。在练习环节，欧老师让学生猜猜自己的生日，充分激发学生兴趣。本课从认识时间单位开始，让学生一步步通过观察年历，整理信息，汇报发现，实现了对时间这一量感的自主探究，也培养了学生整理信息，整合数据，解决问题的能力。
张燕敏《找次品》
张燕敏老师用亲切的语言，从有趣的阿凡提和地主的故事中引入，充分调动了学生解决问题的积极性。本节课张老师的引导十分到位，不仅介绍了天平，还让学生认真读题并理解关键词“至少”、“保证”的意思。张老师重视学生思维的表达，引导学生利用简洁明了的文字和图形来清晰地表达出逻辑推理的整个过程。张老师的这节课由易到难、由浅入深，层层推进，让学生在探究过程中，不仅找到了找次品的策略，更重要的是收获了解决问题的经验，发展了学生的推理能力，培养了学生的抽象思维和化繁为简的思想。
互动评课
课后上课的两位教师进行了反思，夏校也组织其他老师对这两节课进行了评课。
观点报告
葛玲芝《关注量感培养，发展学生素养》
葛老师先提到了三会，我们的每节课都应该要思考是否做到了三会。接着葛老师详细讲解了什么是量感，解释了为何要培养学生的量感，那么如何培养学生的量感呢？
葛老师介绍了四个方法：
1.重视单位量的感知，建立“量”的表象。
2.知道同类量的进率，掌握“量”的运算。
3.加强度量思想渗透，认识“量”的本质。
4.借助参照量的选择，学会“量”的估计。
5.穿插超大量的推算，丰富“量”的认知。
6.开发综合实践活动，拓展“量”的感悟。
葛老师也提供了三条培养量感的路径：
1.让学生经历量感形成的“完整过程”
2.为学生“具身学习”提供丰富的活动
3.让学生拥有量感学习的“整体视角”
实践活动
罗海央《轴对称》
罗海央老师带来了一堂精彩的课堂实录。罗老师从什么是轴对称入手，通过让学生判断剪纸图是不是轴对称图形，明确轴对称图形对折后两边完全重合。在操作部分，罗老师的任务一画好了对称轴，请学生补上另一半，使图形成为轴对称图形，再用精炼的语言“找点、描点、连线”，将方法具体化。在找对称点的活动中，探究对称点的关系，加深学生对于轴对称图形特征的认识。本节课学生经历了动手操作、猜想验证、思考归纳，对比辨析等活动，培养了学生的空间想象能力和创新思维。
翁倩倩《轴对称》
翁倩倩老师从学生的起点入手，创设了基于学情的活动。先让学生在方格纸上补充图形为轴对称图形，再引出画对称轴的方法和对称点的概念，通过对称轴的不同，让学生充分经历画图思考的过程，力图让学生用自己的思维方式自由开放地去发现、去探索，使学生通过大量的经验形成表象，进一步体会轴对称的含义，变“学”数学为“做”数学。
互动评课
课后翁老师进行了反思，夏校也组织其他老师对这两节课进行了评课。
观点报告
俞静静《培养学生的空间想象能力——以“轴对称”教学为例》
俞老师对教材进行了梳理，指出本课的教与学应该建立在学生已对轴对称现象和平移初步认识基础上，在课后俞老师有了三个思考：
1.对于轴对称图形，很多同学的关注点在 “形”，而非是“点”。
2.对于对称点的连线与对称轴互相垂直的这一性质，学生比较难发现。
3.学生对轴对称图形特征的理解不深刻，不会用科学的方法作图，也不会运用性质去判断或补全轴对称图形。
针对以上思考，俞老师做了前测，并进行了学情分析，认识到学生对轴对称有着较高的学习起点，但缺乏对图形运动的本质理解。在比较北师大版和人教版教材后，俞老师有了以下思考：能否调整人教版教材例1、例2的顺序，即先通过作图，帮助学生实现由 “形”到“线”，再到“点”的抽象，进而在操作探究中得出性质？是否可以借助平行四边形，巧妙利用淘气这种错误观点，帮助学生感悟 “等距” 和“垂直”这两个性质？于是，俞老师对本课进行了改进：
1.在观察操作中展开想象，感知画法
2.在矛盾冲突中对比想象，突破难点
3.在巩固练习中逐层想象，深化特性
空间观念的培养不能一蹴而就，一定要立足学情，促使学生的空间观念在不知不觉中得到提升。
教师课后反思
欧巧红
《年月日》是三年级下册第六单元的第一课时，重点是要认识时间单位“年、月、日”，并掌握它们之间的关系。而这一课时的内容知识点比较零碎，很多内容已经在生活中已经有所了解，因而本课教学时我注意运用学生已有知识和生活经验组织学生学习内容，安排教学环节，引导学生在自主探索、合作交流中清晰年月日的关系，了解年月日背后的秘密。但对于知识还缺乏一些整合性，在教学完年和月的关系后，从表格中学生已经很自然地感受到月和日的关系，不需要再进行分类，可以直接通过学生的回答，完善月和日的关系，认识大月、小月、特殊月，生成性资源利用还是非常欠缺。同时在记忆大小月时，节奏有点快，不够深入，还需要多多磨炼。
张燕敏
“找次品问题”是经典的数学智力问题，细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。《找次品》一般安排在五年级下册，是选择了比较简单的一类作为例题，即“若干个外表完全相同的零件，已知其中一个是次品，次品比正品重一些（或者轻一些）。使用一架没有砝码的天平，至少几次就一定能找出这个次品？”这样的课不好上，课后反思如下：
1.这节课需要学生动手操作天平吗？不少孩子没有见过天平，身边又没有天平，只知道依据天平可以列出等式，但是不会完整说出“如果平衡......那么”“如果不平衡......那么”的情况，而只会出现其中的一种。学生不喜欢教材的记录方式，也是因为教材写法虽完整，却过于繁琐。
2.这节课是用天平“称次品”还是用天平原理“找次品”？天平在这节课中，是不是以一种抽象的数学化的形式存在于学生头脑中更好？
3.要积累“找次品”的活动经验，一定是多次“找次品”，那么待测物品的数量该以怎样的次序出现？大家研究中，待测物品的数是3，5，8，9，27....为什么没有2，4，6，7？我们的3-8-9-27-81的教学结构是否可以更简单？
“治大国如烹小鲜”，是否不要翻来覆去，而是抓住一个简单的，好好回味、咀嚼，品悟出其中的奥妙，这样更利于“并不玲珑”的学生接受？因为把“找次品”编入了普通教材，就不再是“数学精英们”的游戏了，而是飞入寻常百姓家的小燕子。让孩子们都能喜欢，是值得追求的。
4.华应龙老师说：“为什么不研究待测物品个数和最少称的次数之间的规律？” 如果下次上，是不是要研究规律？华老师说，这是他舍去的。因为规律不重要，重要的是找规律的过程。还有一个原因，就是如果要揭示规律，那么就要研究更多的待测物品个数，那样就要用更多的时间。在时间有限的情况下，并不是最佳选择。
以上问题，是下次磨课时候，需要精进和改变的。共勉！
罗海央
“对称”对学生而言并不陌生，早在二年级时他们就已初步感知并能正确作出轴对称图形的对称轴，今天《轴对称》的教学是使学生由感性认识逐步上升到理性认识，进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。第一次试教的时候，我可能设计的画轴对称的一半相对的比较简单，发现大部分同学都会了，对学生的难度不大，在师父的指导下，提升了难度，特别是对平行四边形是否是轴对称图形进行了研究和探索；并在画之前也让学生先经历了想象，让学生先感悟……这样更接近学生的实际情况。
翁倩倩
在二年级下册，学生已初步认识轴对称图形，因此学生是有一定基础的。第一次试教时，教学设计难度不够、虽然课比较顺畅，但学生提升不够，第二次就尝试放开。课上存在问题：1.学生反馈遇到问题时，没能及时解决，导致花费过长时间；2.提问的问题指向性不够明确，学生理解有偏差；3.课虽然提升了难度，但是不够熟练，今后需多试多磨。通过本节课让我知道基于学生起点，尽量放手大胆尝试，好的课更需要多练多磨。
导师意见
葛玲芝
在此之前，学生已经学习了时、分、秒，并在实际生活中积累了一些年、月、日的相关经验，但《年月日》的知识对于学生来说是零散的，不系统的，欧老师基于学情，直接将学生关于年月日的知识暴露出来，再给予充足的时间经历探究，交流，分析得出年、月、日之间的关系。年、月、日虽然是规定性知识，但任何一个知识的规定，背后都有一定的道理。当学生探索出一年有365日或366日时，又进行追问，引导学生通过观察、计算、推理等一系列活动，去发现一年的天数为什么不一样的数学原理，这不仅能让教学环节彰显数学的韵味，更能够使学生切实地感受到数学的价值，体会到古人的智慧以及知识背后蕴含的科学因素。这样教学，学生不仅获得数学知识，发展思维能力，也充分体现了各学科知识间的融合。最后提问环节，真实的暴露出学生感兴趣的问题，如为什么会有年、月、日？为什么一年有12个月？每个月的天数为什么不一样等等，所以可以适当再补充年、月、日作为时间单位的来历和大小月的由来。
周丽
罗老师的《轴对称》一节课，教师通过反复打磨，形成了一节较为成熟的课。学生在课堂生成的东西顺其自然，教师教学有的放矢，环环相扣，学生较好地掌握了本节课重点，轴对称的两个最重要的特征，并能很好地运用特征解决问题，是本节课的亮点。整节课难度一点点的提升，在练习中辨认平行四边形为何不是轴对称图形的时候，学生能利用轴对称图形的两个特征，充分说明了平行四边形不是轴对称图形，并且可以不用对折去证明。通过本节课，还让我们看到：只有生成的课堂才是精彩的课堂，只有生成的课堂才是有生命力的课堂。所以我建议大家不要害怕课堂的生成，无论是平时上课还是公开课，只要我们在预设中给学生营造生成的氛围，给学生留足生成的时间，尊重学生生成的精彩，让学生积极参与到数学课堂中来，相信我们的课堂一定会精彩不断、亮点不断。
俞静静
《找次品》一课，张老师以阿凡提找金球的故事作为素材引入，展开教学，让学生经历“找次品”的学习过程。整节课，通过观察、猜测、比较、讨论等方式依次探索3个、8个、9个、27个和81个球的解决问题的策略：尽量将物体平均分成3份，得到次数最少。在探究学习过程中不仅培养了学生化繁为简、推理、优化的数学思想，同时也欣赏了张老师的对学生的常识评价，值得一学。另外，我想提两个建议：
1、五年级的孩子对找次品已有一定的了解，是否可以直接出示课题：找次品。问学生今天这节课我们要来学习找次品，你对找次品有哪些了解？学生畅谈……那你们觉得从几个开始研究比较好呢？自然地引出从3个开始研究。
2、研究3个的时候是不是可以直接问学生你有什么方法找到次品？先让学生独立思考，再同桌交流、指名演示方法、集体交流小结方法，老师板书找次品的过程，并让学生也记录一下。如此让学生从简单入手，动手动脑，亲身经历分、称、想的全过程，明确找次品的基本思路和基本记录方法。并为后续学习作好了铺垫。
叶曾红
《年月日》一课中，欧老师通过让学生小组合作，探究，讨论，交流等各种活动，认识时间单位年月日，知道大月、小月、特殊月，利用多种方法记忆大月和小月，计算整年的天数，探究产生的原因，初步接触闰年和平年。欧老师自己发现时间有多出来，我认为要使课变得更厚实一点，可以在以下几个方面改进：一是记忆大小月的时候，要给予学生更多的时间，方式可以自己背、同桌互背、集体背。二是我们可以在课的结束处向学生提供介绍大小月由来小视频，增添一点趣味性，同时增长见识。第三，可以给学生更多的探究的时间，如除了让学生填写天数的同时，可以让孩子们讨论发现了什么，并在纸上写一写。翁老师和罗老师是同课异构，两个人的课结构相似，相比之下罗老师更会在细节处下功夫，因为有了老师的“有意识”的引导，反馈是清晰而又有层次的。翁老师的课的设计比较大气和开放，欠缺的是课堂智慧，要学会如何根据学生的回答适时点拨，将教学落到实处。
夏士勇
今天聆听四节课，三个学员和一位导师，两个导师观点报告，给了我们极大的反思和收获。
张燕敏导师带来的“找次品”，是人教版教科书五年级下册数学广角的内容。关于这个问题教材共安排了两个例题，例1从最简单的问题入手让学生初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路。例2由8个零件开始探索、发现和总结找次品的最优策略。这节课之前学生已经在沏茶、烙饼和打电话等问题中积累了优化和图示的相关经验，对优化的本质：充分利用资源，提高效率有一定的感悟。相比较之下找次品问题的优化难度更高，图示更复杂。同时不断积累的优化策略和活动经验将为六年级探索鸽巢问题和总复习之数学思考打下坚实的基础。
张老师，立足学生学情，从3个开始研究，找到方法打好基础。重点研究8个，展开丰富的活动和体验：
8（1，1，1，1，1，1，1，1）分成8份 4次
8（2，2，2，2） 分成4份 3次
8（4，4） 分成2份 3次
8（3，3，2） 分成3份 2次
8（1，1，6） 分成3份 3次
8（2，2，4） 分成3份 3次
逐步体验，三分法次数最少。然后，进一步感受分成接近的三份次数最少。这个结论形成之后，进行验证，解决较难的实际问题。此外，找次品问题中蕴含了丰富的数学思想和方法，抽象思想、化繁为简思想、推理思想、转化思想和优化思想。整个课堂教学容量大，思维性强，学生学得兴趣盎然。
三位学员老师的课，展示年轻老师的清新活力。欧巧红老师的“年月日”，关注学生对已有经验的把握，注意选取和学生生活密切联系的素材,从学生熟悉的年历引入,。注重学生的自主探究，在足够的时空中去建构知识，利用年历和月历组织学生开展一系列探究活动,通过观察、分析、填表、对比等数学活动，独立思考、合作交流，进一步感知年、月、日的含义和关系，还介绍了区分大小月的拳头记忆法和歌诀,借用生动有趣的方式，既加深学生对知识的理解,又能帮助他们提高学以致用的能力。欧老师还增添了“一年为什么是365日，366日”的由来，让学生知其然，并知其所以然。
翁倩倩和罗海央老师的同课异构“轴对称”，对比强烈，不同的设计呈现不同的理念。四年级下册“轴对称”一课，是学生在二年级初步认识轴对称图形的基础上，用“对称点”“对称点到对称轴的距离”等定量刻画的方法来进一步分析图形特点、加深理解。教材把方格背景和对称轴直接呈现，引导学生通过“数一数”，发现轴对称图形的特征。然后基于此，学习“补全轴对称图形”的方法，更深刻地认识轴对称图形。如何创设适度的学习空间，让学生的探究更有效，体验更深刻，使学生思维的提升更明显，就成了两人教学这节课时重点考虑的因素。
翁倩倩老师采用一个素材画轴对称引入，展开研究，特别是研究两个特征“等距与垂直”，最后拓展升华，显示由小及大，设计开放灵活。罗海央老师立足教材的编排，稳步扎实，循循善引，学生经历观察、想象、操作、说理等一系列有意义的学习活动，从而自主地发现对称点、对称点到对称轴的距离等研究轴对称图形的关键元素。正是在这样的探究活动中，学生对轴对称图形的认识逐渐从大概走向理性。两位老师给我们展现了不同的设计理念，充分说明了教无定法,教学有法,贵在得法。
学员意见
赖华良
“找次品”问题学生之前很少接触，没有相关的学习和生活经验，新课开始后，张老师让学生先从3个待测物品里面找金子，让学生理解为什么数量多了1个，而次数没有增加？从而让学生感受到找次品并不是每一个待测物都要称，而是可以通过推理将其找出，为后续研究8个、9个埋下伏笔。接着张老师把重点放在研究从8个里找出金子。通过学生同桌合作：操作、交流、表达、对比等过程，让学生发现规律——“尽可能将待测物品平均分成3份”。为了让学生充分理解这一规律，张老师又让学生接着研究9个。最后将此规律应用于27个、81个零件加以验证。这样层层递进，逐步感知、理解称的次数最少的方法的特点。
沈熠文
《年月日》这一课知识点细碎，而且抽象的时间概念学生不容易理解。欧老师利用2017年到2022年的年历卡引导学生自主观察、合作探究了解年月日的关系，帮助学生突破本节课重难点，同时提高学生的观察、分析判断的能力。从科学家得出的一年大约有365天6小时结论出发，欧老师帮助学生深刻了解日历上365天和366天的这两种天数背后的道理和四年一闰的由来，这一环节较为新颖，值得学习。若是能在课堂结尾再播放大小月由来的视频(卡撒时期和奥古斯都时期的月、日关系)就更好了。
胡灵芝
《年月日》一课，在教学中欧老师抓住教材特点，层层深入，保证了学生的主体地位和教学目标的有效落实，重点突出。欧老师充分尊重学生学情，从学生已有的知识经验出发，直接问“关于年月日，你已经知道了什么？”“是不是你们说的这样呢？”由此引发学生思考，探究年月日。接着让学生在活动中充分体验感受时间量，让学生在找一找，写一写，算一算等形式下，通过2017到2022年的年历表，将每月的天数整理并记录在学习单上，让学生在自我观察、自我发现、自我质疑中了解大月、小月、特殊月，让学生感受年月日这三个时间量之间关系的感知。在介绍快速记忆大小月的方法时， 欧老师借助多媒体，让学生直观、生动地了解到“拳头记忆法”和“歌诀记忆法”，通过身体语言、歌谣等多种形式的反复练习和记忆，学生对“年月日”三个量有了进一步感知。欧老师站在学生的角度，尊重学生的个体差异，营造了一种宽松、平等的教学气氛，让学生以自己的方式方法去解决问题，充分让学生表达，让学生体验到成就感。
陈露露
《轴对称》图形这节课中，注重让学生尝试并完整表达找对称点的方法，发现对称点到对称轴的距离相等。在观察操作中，进一步发现对称点的连线与对称轴互相垂直。其次，两位老师都注重一题多用，在判断各图形是否是轴对称图形中，以平行四边形为主展开，在不同情况下通过量一量、说一说、画一画熟练掌握轴对称图形的两个特征。
朱宋逸
张老师的《找次品》一课，用阿凡提的故事引入，让学生对本节课的内容提起了兴趣。再通过3个球明确程序，通过8个球引导学生感悟分成3份的次数最少，通过9个球引导学生感悟平均分的次数最少，从而解决27个、81个、10个的问题。每个数的选择都是有目的的，给学生感悟规律提供了有力的素材。最后，利用天平的结构向学生解释了为什么要分成3份，这是一个从具体到抽象，又从抽象到具体的过程。
史亮亮
轴对称图形这节课是建立在学生已经初步认识轴对称图形和对称轴的基础上。两位老师虽然引入的图形不同，但都是通过画图、观察、发现等方式让学生认识轴对称图形的两个特征，并对平行四边形是否为轴对称图形进行了深入的探讨，4条“对称轴”一一否定，不仅是将学生用已有的对折来判断转变为运用两个特征来判断，更是巩固了两个特征，突破了其不是轴对称图形的难点，还有拓展与变式。
“量”由度中来，“感”从悟中得，“双新”背景下的课堂是能力提升的课堂，是关注素养的课堂，更是追求孩子们思维碰撞的课堂。通过本次活动，我们认识到“量”的学习，在于依托生活场景唤起学生对“量”的属性、大小、单位、工具使用上的真实感受，在观察、操作、探究和体验中积累丰富的“量”的活动经验。让学生在潜移默化中，逐渐将量感依托形体内化于心、外化成体系。