大家好，我是和田市中小学数学情景问题教学推广读书会成员岳淑英，现任教于和田市希望小学。
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本期内容
《小学数学核心概念研究》第 8 章 推理能力——小学数学发展推理能力的教学研究。
8.1 推理概述
一般的说，数学推理可以分为：合情推理、演绎推理。
8.1.1 合情推理
合情推理又称似真推理，是一种合乎情理，结论好像为真的推理，它是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、公理、定理等 ) 、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等通过归纳和类比推测某些结果的推理过程。合情推理主
要指不完全归纳推理、类比推理、联想推理……等或然性的推理，其结论不一定成立。合情推理常用于获得猜想，在人类的发明创造中起着重要作用。
1、 归纳推理
归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理方法。它是特殊到一般的方法。按照它的考查的对象是否完全而又分为： 完全归纳推理；不完全归纳推理。
完全归纳推理：根据某类中每一个个体都具有（或不具有）某种性质，推出该类具有（或不具有）某种性质的归纳推理称为完全归纳推理。不完全归纳推理：根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法推理。
小学数学中的许多概念法则，公式都是运用不完全归纳推理，从部分特殊事实得到一般原理，即通过一些学生熟知的个别生活实例或数学问题，再进行观察，比较、分析、综合中归纳出一般结论。归纳推理必须以概括为基础，也就是首先要把个别事物或现象归之于一类事物或现象，然后在此基础上进行归纳推理。
不完全归纳可以促使人们通过观察分析，去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在数学中，发现结论往往比证明结论更重要。大数学家高斯曾说过，他的许多定理都是靠归纳发现的。
2、 类比推理
类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们在另一属性也相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的推理。
其逻辑形式如下：
∵A 对象具有属性 a、b、c、d
B 对象具有属性 a、b、c
B 对象也具有属性 d
类比推理这种根据两个对象的某些属性相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的从特殊到特殊的推理，是一种横向思维。在小学数学教学中，常常利用新旧知识间的某些相似处进行类比推理，以学习新的知识。
运用类比推理应注意以下几点：
（1）类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性及相关程度；
（2）要善于观察事物的特点，善于从不同事物身上发现其共同特征；
（3）要善于联想，善于由此及彼，不受范围限制，思维要发散；
（4）注意把类比与归纳、演绎等方法结合起来运用，提高类比成功率；
（5）避免形式上的类比。
类比思维是一种或然性极大的逻辑思维方式，它的创造性表现在发明创造活动中人们能够通过类比已有事物开启创造未知事物的发明思路，其中隐含有触类旁通的涵义。它把己有的事和物与一些表面看来与之毫不相干的事和物联系起来，寻找创新的目标和解决的方法。
8.1.2 演绎推理
演绎推理又称为论证推理，是根据已有的事实和正确的结论 ( 包括定义、公理、定理等 ) ，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，是从一般到特殊的推理，它是以某类事物的一般判断为前提作出这类事物的个别、特殊事物判断的推理方法。
演绎推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，它的过程正好与归纳推理的过程相反，它的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。
8.2 数学课程中的推理能力
1、推理能力的教学要求：
在小学阶段培养和发展学生的推理能力，既有演绎推理，也有合情推理，根据小学生的生活经验和知识基础，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。
2、而归纳推理又多表现为不完全归纳推理。
推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程，它贯穿于数学教学的始终。义务教育阶段要训练学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。
教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。
8.3 在课标准的课程内容中落实推理能力的培养
1、在“综合与实践”中培养学生的推理能力
“综合与实践”的教学内容及要求：综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用数与代数、图形与几何、统计与概率等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内、外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。
从以上《数学课程标准》对“综合与实践”的教学内容及要求看，更多的是理念层面的引导。而如何组织实施好“综合与实践”的教学，发展学生的推理能力。需要教师深刻理解数学“综合与实践”的内涵。创设问题情境，引导学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学内部各内容之间、数学与生活之间、数学与其它学科之间的联系深化对所学内容的理解。
例如，“圆锥的体积”一课的教学时，组织学生分组实验。教师分别给每组提供了三套实验材料：一套空心的同底等高的圆柱与圆锥；一套空心的圆锥的底和高分别大于圆柱的底和高的圆柱与圆锥；一套空心的圆锥的底和高分别小于圆柱的底和高的圆柱与圆锥。然后让学生借助水和沙子等材料，运用这些材料分组实验，探究圆锥与圆柱的体积之间的关系。
学生通过观察、实验、猜想、证明这一相对严密的思维过程，得出。
这样的结论：同底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的 1/3；同底等高的圆柱的体积等于圆锥体积的 3 倍；不同底不等高的圆锥的体积或大于或小于圆柱的体积。
在这一实验探索的过程中，学生既学会了选择材料、运用材料，也学会了分析、综合、判断和推理，学会了运用所学知识解决实际问题。
2、教师在提供实践活动材料时，应注意三个方面：
其一是提供面向全体学生的实践活动材料；
其二是提供能全面揭示数学本质的材料；
其三是提供产生不同探究思路的材料。
8.4 发展推理能力的教学案例分析
1、 教学案例介绍
教学内容：义务教育教科书（人教版）学三年级下册新增设的一个内容。
教材分析：“重复问题”是日常生活中应用比较广泛的数学知识。教材主要是让学生通过实际生活中容易理解的题材，初步体会集合思想方法。
教学目标：
1.引导学生在贴近生活的情境中，提取相关数学信息，学会用画圈的方法，表示不同集合的含义，并学习用数学语言进行描述，领会韦恩图的含义；
2.主动参加的数学活动过程中，获得成功的体验，提高学生学习数学的兴趣与能力。
2、 教学过程
片段 1 展示文字情境，分析数学信息
“育才小学三年级定于周二举行跳绳、周五举行踢毽比赛。三年级共有 3个班级，每班选 7 人参加跳绳、选 5 人参加踢毽比赛。问三年级共有多少人参加了跳绳、踢毽比赛？”
师：引导学生思考，这样计算对吗?
3 × 7 ＋ 3 × 5 ＝ 36（人） 或（7 ＋ 5 ）× 3 ＝ 36（人）
片段 2 设计重复参赛，激起认知冲突
师：给出 3（2）班参赛学生情境，“有两个学生（于丽、张伟）重复参赛：既参加跳绳，又参加踢毽”。用出现重复参赛来激起学生的认知冲突。这种情况，又该如何用圈来表示？
进而，引导学生自主探究： 如何用“画圈”的方法，把参赛学生明白地用圆圈表示出来——圈出来。学生独立思考，合作探究约 10 分钟。
3、 教学案例评析
该课时教学，把握了课时教学的“三个核心”：核心知识——“重复”概念；
核心问题——“如何让人清楚看出跳绳的、踢毽的、既跳跳绳又踢毽的各有哪些
人？怎样用圈表示？”：核心素养——抽象，几何直观，推理，数学表达。
要点：教学中重视学生抽象思维能力的训练，让学生在解决本问题的推理难点——由三个圈到两个圈表示的探究过程中，获得用两个圈的“交叉圈”这一重叠部分表示重复的体验。让学生在这一知识的“再发现”中，获得抽象、几何直观、推理能力的训练。
加强在教思考、教体验、教表达中培育学生素养，利用画圈，从形象思维中引导学生对“重复”进行数学思考；引领学生在解决核心问题的探究过程中，获得集合“交”的几何直观体验；教师放手让学生在探究、表达、交流 中加深“重复”的理解。