课例示范 切磋琢磨

（一）

理清关系 追本溯源

——“小数的意义和性质整理复习”教学及思考

○唐山市开平区教育局小学教研室   李静

      “小数的意义和性质”是人教版四年级下册的内容。教材对小数的意义的阐述基于十进制分数：“分母是整十、整百、整千的分数都可以用小数表示”。但是，从数学发展的角度看，小数的现代计法是整数“十进制”计数方式的反向延伸，是为了满足无理数近似计算的需要而产生的。由于缺乏对无理数的认识，加之教材对小数的性质，小数点的移动引起小数大小的变化等的阐述也都是在现实情境中基于具体量的认识，学生很难将小数与整数十进制计数法进行对接，在本质上认识小数。

      在整理复习本单元时，我借助“数位顺序表”这个“有形”的十进制“工具”，引导学生用位值制及十进制的思想梳理、串联知识，从计数法的数学本质上理清关系，获得数学思考。

片段一：借助数位顺序表，感悟十进制的核心思想

师：数学是一门研究关系的学科。小数的意义和性质单元知识点又有怎样的关系呢？今天我们就借助数位顺序表进行整理复习。

出示数位顺序表。

师：关于数位顺序表，你都知道些什么？

生：十分之一、个、十……这些都是计数单位，计数单位所在的位置叫数位

……

      根据学生的回答提炼板书十进与位值的思想：①相同的数字在不同数位上表示的大小不同。②相邻计数单位间的进率是十。

单纯探讨计数方法对于四年级学生还是比较抽象的。借助数位顺序表这个学生熟悉的“数学工具”，可以沟通小数与整数的联系，深化对十进制计数方法的认识。十进制计数法的核心是十进制和位值制，接下来的复习也都围绕这两个数学思想展开。

片段二：在数位顺表中写数，理清整数、小数、分数的关系

师：生活中我们经常用数表示计量的结果。这是一条长1厘米的线段。你还能用其他数来表示它的长度吗？

生：10毫米，米，0.01米，0.1分米，分米，0.00001千米…

师：同一条线段的长度，从不同角度思考，表示的方式也不同。这些数中有二组数是相等的，你能找到它们吗？

生：0.1和；0.01和

师：分母是10、100、1000的数都可以用小数表示。

师：你能把刚才说的这些数写入数位顺序表中吗？ 

生：整数、小数可以写在数位顺序表中，分数不行。

……

师：我们在学习整数和小数时都借助数位顺序表写数，但是分数却不能写在数位顺序表中，看来分数和整数、小数的计数方式是不同的。

小数、分数、整数都是表达量的多少的方式，同一个量可以有不同的表达。通过在数位顺序表中写数，可以引导学生对分数、小数、整数之间的关系进行思考。尽管教材把小数的意义表述为分母是10、100、1000……的分数，但是小数的计数方式却与整数有着更为“亲密”的关系，两者都可以借助数位顺序表进行读写。

片段三：借助数位顺序表，勾连整数、小数比较大小的方法

师：你能借助数位顺序表比较这些数的大小吗？

20.559  20.56 101  99 ……

师：你是怎样比较的？

生：先从最高位比起，101最高位是百位，所以最大；99十位上是9，20.559和20.56十位上是2，因此99第二……

师：为什么要从最高位比起？

生：数位（计数单位）是由大到小排列的。

师：比较20.559和20.56，为什么只比到百分位？

生：6个百分之一要大于5个百分之一。

师：20.559的千分位上还有9，为什么不继续比了？

生：百分之一和十分之一的进率是十，9个百分之一小于1个十分之一。

……

师：小数和整数比较大小的方法是一样的，都是比较各个数位上计数单位个数的多少。高位上比较出大小无需再比较低位，因为相邻计数单位间进率是十，而每一位上最大数字是9。

      小数、整数大小比较的方式相同，都是基于位值及十进的思想比较相同数位计数单位的个数。由于相邻计数单位的进率是十，而数字符号最大是9，所以由高到低比较到哪一位不同就不需要再往下比了。上述结论的获得如果单纯地进行理性的分析会比较枯燥、生涩，借助具体的数和数位顺序表，学生对十进制和位值制的思想便有了更直观、具体的感知了。

片断四：借助数位顺序表，对小数性质、规律再理解

1.小数的性质再认识。

师：你能借助数位顺序表比较这几个小数的大小吗？

1.5  1.50  1.500 

生：小数的末尾填上0或去掉0小数的大小不变，所以它们相等。

师：小数末尾填上（去掉）0为什么大小不变？ 

投影提示：借助数位顺序表思考并在组内讨论。（1）1.5后面填上0之后小数在数位顺序表中的什么没有变？（2）整数有类似的性质吗？ 

生：1.5后面填上0表示0个0.01，还等于0。

……

师：整数有这样的性质吗，举例说说。

生：1后面填上0就变成了10，大小变了。

师：能在数位顺序表中说说吗？

生：1由原来的1个一，变成了1个十。数位变了，计数单位也变了。所以整数的末尾填上0去凋0大小就变了。

……

师：在小数末尾填上0或去掉0不影响小数的大小，因为这些0不会改变计数单位的个数。而整数不具有这样的性质，整数末尾填上或去掉0会改变各个数字所在的数位，计数单位的多少变了，数的大小也就变了。

2.小数点移动引起小数大小变化的原因再理解。

师：利用数位顺序表想一想，移动1.5的小数点，小数大小怎样变化？先自己思考再跟同组同学讨论。

投影提示：（1）小数点向左（或向右）移动一位，数位、计数单位怎样变化的？（2）小数大小的变化与计数单位间的进率有什么关系？

……

师：1.5的小数点向右移动一位，数位就向左移动了一个。1由原来的个位到了十位，5由原来的十分位到了个位。这样1和5就由原来的1个一，5个十分之一变为了1个十和5个一。相邻计数单位间进率是十，小数点先左（右）移动一位、两位…小数就会缩小（扩大）10倍、100倍…

      小数的性质和小数点的移动引起小数大小变化是计算小数四则运算的基础。教材这部分内容的呈现都基于现实的情境及具体量的认识（人教教材使用了跳远、金箍棒的长度等情境）。教材的这种编排便于学生在新授学习时基于生活经验更好的理解知识，也便于教师设计学生感兴趣的数学活动。但是，这样的教学也使得学生对小数这些性质变化的本质缺乏深入的思考。在对单元内容进行整理复习时，教师抛开现实背景，将小数的性质，小数点的变化规律及小数与单位换算等内容用十进制计数法来连接，解释。这样既建立了知识间的联系又对小数的本质有了更深入的剖析。

片段五：讲述数学史，激发兴趣追本溯源

师：借助数位顺序表我们找到了小数的意义和性质这一单元各知识点之间的联系，小数是整数十进制计数法的反向延伸。有人说“上帝创造了自然数，其余都是人为的”。小数的现代计法只有300年左右的历史，要远远晚于整数和分数。除了表示分母是10、100、1000的分数，小数还有什么用途呢？人们为什么要引入小数呢？在以后的学习中你们会对小数有更多的了解，有兴趣的同学还可以查阅一下相关的资料。

      课堂小结既明晰了小数的计数本质，又追溯了小数产生的历史。数学文化赋予了数学学习以温度和情感，将学生的学习由课内引向了课外。

成员反思

链接知识网络，启迪思维智慧

                     —《小数的意义和性质整理复习》听课体会

                                      路北光明实小景林校区  薛丽丽

      在李静老师名师工作室的部署下，我们有幸聆听了李老师亲自指教的《小数的意义和性质整理复习》一课，以下是我的一些收获和感悟。

      一、研透教材，梳理知识体系。

      课堂伊始，李老师鼓励孩子们回顾了本单元的知识点，然后借助“数位顺序表”这个有形的十进制工具，引导学生用位值制及十进制的思想梳理、串联知识，从计数法的数学本质上理清关系，感受到数学知识的整体性和系统性。李老师在处理“小数点移动引起小数大小变化原因”的探索环节中有这样的安排：

1、老师提出问题：“利用数位顺序表想一想，移动1.5的小数点，小数大小怎么变化？”

2、让孩子们先独立思考，再在组内说一说。

3、视频投影提示：

（1）小数点向左（向右）移动一位，数位、计数单位怎么变化？

（2）小数大小的变化与计数单位间的进率有什么关系？

4、学生畅所欲言说出自己的想法。

      李老师在教材的呈现内容上有了自己的思考和创新设计，抛开了现实背景。把小数点的移动借助十进制计数法来理解，这样既建立了知识间的联系，又对小数的本质有了更深入的剖析，有助于学生理解小数与分数的区别。它是整数计数单位方式的拓展与延伸，这样的环节处理帮助孩子们构建起了数的知识体系。

      二、明晰学情，启发思维方法。

      在复习过程中，李老师不仅传授知识，更注重培养孩子们的数学思维。通过引导分析问题的本质，寻找解题的规律，让孩子们学会了如何灵活运用小数的性质进行逻辑推理和计算，这对于提升学生的数学素养和解决问题的能力大有裨益。李老师在处理“小数性质的再认识”环节时作了这样的设计：

1、教师提出问题：你能借助数位顺序表比较这几个小数的大小吗？

1.5   1.50   1.500   1.5000

2、学生说出自己的想法：它们大小相等

3、教师有效追问：你能借助数位顺序表谈一谈吗？

4、安排小组内讨论，投影出示提示

5、让学生说出自己的理由：小数末尾添0的特性

6、教师再次追问：整数有这样的性质吗？可以举例说说。

7、教师作出归纳总结

      在小数大小比较的问题上，李老师依然引导学生借助数位顺序表去体会，小数末尾的0不会改变计数单位的个数，所以它不影响小数的大小。并且在老师有效的追问引导下，通过与整数对比，对小数的性质有了再认识，让学生的数学思维得到提升。

      三、追本溯源，获得数学感悟。

      小数是整数十进制计数法的反向延伸，小数的产生只有二三百的历史，远远晚于整数和分数，但是小数的引入丰富了数学知识体系。在课结尾处李老师又作了这样的留白：

1、 人们为什么要引入小数？

2、 小数还有什么用途呢？

3、 让感兴趣的孩子们去查阅相关的资料。

李老师从小数的产生和用途上将学生的思考和研究引向对数学文化的探索之中，真正达到追本溯源，从而获得不一样的数学感悟。

      通过聆听李老师的这节整理复习课，我深刻感受到系统化梳理的重要性‌。复习课不应是知识点的简单堆砌，而应是知识网络的精心构建。通过此次听课与自我审视，我得出以下几点深刻体会，作为本次反思的总结：

一、回顾旧知，激发新知‌：复习不仅仅是回顾，更是新知的萌芽。我将尝试在复习过程中融入新的问题情境或挑战任务，激发学生的好奇心和探索欲，使他们在巩固旧知的同时，也能触类旁通，发现新的问题解决方法。

二、强化应用与实践‌：理论知识的价值在于应用。我计划增加更多与生活实际紧密相关的练习题和实践活动，让学生在解决实际问题的过程中，深化对数学概念的理解，提升解决问题的能力。

三、关注个体差异，实施分层复习‌：每个学生对知识的掌握程度不同，复习时应采取分层教学策略，为不同层次的学生提供适合他们的复习材料和挑战。我将致力于设计更具针对性的复习方案，确保每位学生都能在原有基础上取得进步。

‌四、反思与评价并重‌：复习课的结束不应是学习的终点，而是新学习周期的起点。我将鼓励学生进行自我反思，评估自己的学习成效，并设定新的学习目标。同时，我也会及时收集学生的反馈，不断调整和优化复习策略。

      总之，这次小学数学整理复习课的听课经历，让我对自己的教学理念和方法有了深刻认知。我将以此为契机，不断探索和实践，努力让复习课成为学生知识巩固的坚实桥梁，能力跃升的新起点，为他们的数学学习之旅增添更多的乐趣与成就。