各位老师，欢迎来到“名师优课赏析”。让我们走进名师，感受名师的课堂艺术和教学智慧，共赏、共享、共议，一起交流。 我是金地分校数学组2024年春夏第十二期优课推荐人褚凤杰。
本期推荐的是张齐华老师执教的小学数学六年级下册数学广角的内容——《鸽巢问题》。
张齐华老师，被孩子们誉为“数学王子”，让数学文化浸润孩子的心灵，超越数学，超越自我。南京市玄武区教师发展中心教研员、江苏省特级教师、中学高级教师、南京市“张齐华小学数学名师工作室”负责人；一直致力于数学文化的探索与实践，曾获全国小学数学专业委员会第七届教学观摩大赛一等奖，《人民教育》《小学教学》对其在数学文化领域的探索进行专题报道；参与苏教版小学数学教材的编写，在省级以上刊物发表教育教学论文200多篇，出版专著《张齐华与小学数学文化》。
教学过程
一、小组讨论，自学任务单
1.教师出示自学任务单，小组进行交流（图1）
2.师生进行问题分类（图2）
图2
①4和5是一类问题
②1和7是一类问题
③3、6分别为一类（“6”还可以问最少的笼子里最多有几只）
二、答疑解惑，探究方法
1.均分法（解决问题四）
（1）生发言：首先它要把八只鸽子飞进三个笼子里，因为要求的是最多的笼子里最少有几只，我们可以用一一对应的方法，一只笼子飞一个，那么还剩下五个，接着再分，最后剩下两个，因为题目问的是最多的里面至少有几只，2可以分成0加2，2加0，1加1，因为要求最少，所以就是1加1，其实我这里用的是平均分的方法，8÷3=2……2（图3）
（2）师追问：题目问的是最多的笼子里至少有几只，凭什么第一次摆的时候一个笼子里飞一只？它们都经过训练的吗？为什么不挤在一块，飞进一个笼子里？
（3）师引导：题目问的是最多的笼子里至少有几只，先关注最多还是最少？（生回答：平均）那平均是从“最多”还是“至少”推导出来的？（至少）要保证最多的笼子里尽可能的少，应该尽量平均。
（4）师生明确：首先考虑至少，就要尽可能的平均，把八只鸽子平均分到三个笼子里，八除三商二，剩下的两只也要平均，不光是第一次要匀一匀，余数也要匀一匀。
（5）看式说含义：师让生结合圆形磁扣指一指各个算式中数字的含义（图4）
（6）取名归纳
师：你能给这种方法起个名字吗？（师板书：均分法）
均分法实现了让最多的那个笼子里尽可能的少,你要让最多的笼子里尽量少少少，只能是均分了。
2.假设法
（1）生发言：假设一共有4只鸽子，一个笼子里头飞4只，另外两个就是0和0，最多的里面至少是4只，如果一个笼子飞3只，另外两个就是1和0，那么最多的里面至少是3只，3＜4，如果从有三个磁扣的笼子拿出一个放到另一个笼子里，最多的笼子里最少有2只，之后再怎么分，最多的里面最少有2只，这个方法可能有点限制性，如果数量太大，有100只的话就不好分。（图5）
3.列举法
（1）生发言：给每个笼子取个名字，笼1、笼2和笼3，第一种情况0、0、4，第二种情况0、1、3，第三种情况0、2、2，以此类推，最后发现1、2、1和1、1、2是最优解，所以就是2。（图6）
（2）师追问：到了第二种情况0、1、3，这个同学觉得好像有1、3、0，1、0、3等等，其实有很多种情况，因为0，1，3三个数字是可以组成好几种情况，有没有必要把这些情况都列举出来？
（3）生思考并明确：不用把所有情况都列举出来，因为最多的笼子里都是三只，所以本质上是一样的。（师板书：列举法）
4.反推法
（1）生发言：前面我们都是从至少说到最多，现在我要从最多说到最少，首先我要把四只鸽子全部放到一个笼子里，现在是最多的了，如果想要至少的话，我们可以把鸽子往其他的笼子里去分，所以就是两只。（图7）
（2）师生取名：反推法
5.反证法
（1）生发言：假设最多的笼子里只有两只，那么三个笼子最多装六只，8-6＝2，最后两只要均分，所以最多的笼子里至少有三只。（图8）
图8
（2）师补充反证法：反证就是我先假设某个结论是成立的，然后按照这个结论去推，最后得出的是一个荒谬的结果，以此来证明原来的结论是错误的，比如：假设这位男同学是个女孩，按照女孩这个结论，我们来推，发现跟他是完全不成立的，因此得出“他是个女孩”这个结论是错的。
（3）师引导：他为什么假设是两只呢？正确答案是三只，因此，他认为不能比三再少了，比三少的是二，所以假设是两只，最后得出的结论是六只，跟八只不符，那么原来这个假设是错的，那两只是错的，也不能是一只，因为越往下走越少，只能往上，如果是三只的话能达到题目说的八只，所以就是三，这才是反证法。
三、触类旁通，举一反三
1.抽屉问题
问：为什么说抽屉问题叫鸽巢问题？
答：比如在三个抽屉里放一些东西（苹果），求最多的里面最少有几个，这跟鸽巢问题类似。
2.扑克牌问题
问1：扑克牌怎么变成鸽巢问题了？
答1：一副扑克牌去除大王小王，剩下的就是四种花色，摸6次就会产生两种相同的花色。
答1：一副扑克牌去除大王小王，剩下的就是四种花色，摸6次就会产生两种相同的花色。
问2：为什么去除大小王？
答2：因为大小王并不是任何花色。
问3：扑克牌里谁是抽屉？谁是苹果？
答2：因为大小王并不是任何花色。
问3：扑克牌里谁是抽屉？谁是苹果？
答3：花色是抽屉，52张牌是苹果，所以这里的6，相当于6个苹果或者是6只鸽子。（图9）
3.骰子问题（图10）
生发言：骰子点数一共有6种不同情况，掷7次骰子，7÷6商为1，1加1就是2。
问1：为什么骰子这么乖呢？第一次掷的骰子数是1，第二次是2，3、4……
答1：因为要在最多的情况下最少，什么情况下才能保证最少呢？最倒霉的情况下（每次掷的骰子数不一样），所以这个方法也叫最不利原则，最不利的含义也就是说，要让最多的最少，所以要平均。
四、拓展延伸
1.求最多/少的里面最多有几只
（1）师提问：最多的笼子里最多有多少只？最少的笼子里最多有多少只？
（2）生思考并回答:
①最多的笼子里最多有8只。
②最少的笼子里最多有2只，因为8÷3商为2，每个笼子飞两只，那剩下的两只平均分，没有被分到的就是最少的，所以就是两只，这一次，我们只要得到商就可以了，不要用商加一。
（3）师追问：一开始为什么要平均分？
（4）师生明确：如果不平均分的话，最少的就是变少了，不能达到最少的里面最多有几只。
（5）师总结：让最多的变少，让最少的变多，本质上是一样的，都是让它平均分，区别在于一个求的是商，另一个求的是商加一。
2.建模思维
师：鸽巢问题除了这四种以外，还有很多，可能是无穷无尽，比如撞衫问题，在景区碰头问题等等，鸽巢问题其实就是对这种问题的归纳和概括，在数学上其实它就叫“建模”，我们把这些问题都叫做鸽巢问题，鸽巢问题只是这所有问题里面抽取来的共同模型，本质都一样，所以我们就把它叫做统一的模型。
3.推理
师：我们今天用了反推、均分、反证、举例的方法，其实本质上都是推理，在我们数学当中，推理是一个非常重要的数学方法，也是非常重要的六大数学思想之一。
五、教师寄语
师：希望同学们能够把小学数学课堂里学到的方法、思想和策略带进中学课堂，不让中学老师嘲笑我们。
师：希望同学们能够把小学数学课堂里学到的方法、思想和策略带进中学课堂，不让中学老师嘲笑我们。
六、板书设计
教学用语
1.提出好的问题能让我们的思维更深入。
2.特别善于思考，不光讲述一种好方法，同时还把这种好方法的适用性和局限性都给我们提出来了，非常棒！
此时，学生对鸽巢问题的理解从单一走向多元，由封闭走向开放，由模糊走向清晰，由零散走向结构。
课堂上，从始至终，思维在不停地发力，组长领导、组员配合、老师引领，完成了对知识的内化，更重要的是，孩子们学会表达，辨析，学会追问、质疑，学会接纳、反思，这是比数学知识更重要的能力与素养！
现在就让我们一起走进张老师的课堂，用心聆听。课后欢迎您的分享。